Teoria Completa
Introdução
Imagine um paralelogramo com uma força aplicada em um dos seus lados, assim:
E queremos saber o momento no ponto . Como faremos isso?
Repare que agora temos um corpo com três dimensões... Então, quais das três distâncias têm que pegar para calcular o momento no ponto ?
Quando olhamos só para o eixo , a força está distante do ponto , mas quando olhamos para o eixo percebemos que a força está distante de . E aí?
É isso que vamos aprender agora, partiu?
Momento vetorial
Pra calcular o momento, basta a gente aplicar o produto vetorial que o representa:
Antes de tudo, você precisa descobrir duas coisas: quem é o vetor e quem é o vetor
Vamos pegar aquele exemplo inicial de novo:
O vetor é o vetor posição que começa no ponto onde você quer calcular o momento (no nosso caso o ponto ) e termina em qualquer ponto da linha de atuação da força, assim:
A linha de atuação da força é uma linha ao longo da direção da força , como podemos ver no desenho acima. Então, é muito mais fácil colocar o vetor na face do cubo do que chegando em outro ponto da linha de atuação, pois assim ele terá somente duas componentes: no eixo e , assim:
Se colocássemos o vetor terminando onde a força começa, a sua componente no eixo não seria mais zero o que daria mais trabalho nos cálculos!
A força está na direção do eixo , então vamos supor que seu módulo seja igual a , então:
Agora é só fazer este produto vetorial:
Teorema de Varignon em Três Dimensões
Se você achou o produto vetorial complicado, vou te mostrar outra maneira de calcular o momento! Vamos seguir esse passo a passo aqui:
- Primeira coisa que você tem que fazer é achar as componentes da força em cada eixo;
- Segundo passo é calcular o momento que cada componente faz com relação ao ponto e usar a regra da mão direita para saber o seu sentido;
- Agora é só somar todos os momentos para achar o momento total!
Mas a regra aqui é: para cada componente você vai pegar a distância perpendicular a ela e multiplicar pelo módulo da componente.
- Se a sua componente está no eixo , então você vai pegar as distâncias que estão nos eixos e , pois esses dois eixos são perpendicular ao eixo ;
- Se sua componente está no eixo , você vai pegar as distâncias que estão nos eixos e . Esse é o caso do nosso exemplo, olha:
- Se sua componente está no eixo , você vai pegar as distâncias que estão nos eixos e .
- Cálculo do momento para a distância que está no eixo : vamos olhar para a face da frente do retângulo, pois nela estão todas as informações que vamos usar:
- Cálculo do momento para a distância que está no eixo : vamos olhar para a face de cima do retângulo, pois nela estão todas as informações que vamos usar agora:
Repare que quando a força é paralela a um eixo, ela não gera momento em nenhum ponto que pertença a este eixo.
Quando você utiliza esse método é preciso usar também a regra da mão direita.
Para entendermos melhor vamos usar o nosso exemplo:
Já sabemos as duas distâncias que temos que pegar para calcular o momento com relação ao ponto . Agora vamos calcular cada momento e usar a regra da mão direita para cada um deles.
O módulo do momento vai ser:
Mas qual o sentido desse momento? E em que eixo ele está?
Essas perguntas são respondidas pela regra da mão direita: é só você colocar os 4 dedos da palma da sua mão direita (exceto o polegar) no sentido que a seta da força aponta e fazer sua mão girar em torno do ponto
Repare que seu polegar aponta para dentro da tela, no sentido negativo do eixo . Então, o vetor momento no eixo será:
O módulo do momento vai ser:
Pela regra da mão direita você coloca os 4 dedos da palma da sua mão direita (exceto o polegar) no sentido que a seta da força aponta e fazer sua mão girar em torno do ponto :
Repare que seu polegar aponta para fora da tela, no sentido positivo do eixo . Então, o vetor momento no eixo será:
Agora é só somarmos os dois momentos:
Repare que deu a mesma coisa do cálculo por produto vetorial, mas dessa maneira acabou dando mais trabalho!
Projeção de um momento em uma direção
Pode ser que a questão queira que você calcule o momento em relação a um certo eixo, ou direção. Vamos dizer que o objetivo seja calcular o momento em relação a uma direção. O que você fará, então?
Você vai projetar esse momento na direção , como fazíamos com as forças:
Show de bola? Só isso!
Ah, existe outra forma de se representar isso. Como podemos escrever o vetor momento assim:
Então:
A expressão é chamada de produto escalar triplo.
Preste atenção em uma coisa: ali dentro tem dois produtos, um escalar e um vetorial. Você precisa fazer primeiro o vetorial, sempre!
Caso contrário, quando você fizer , será gerado um escalar e ele não poderá ser usado no produto vetorial com . Show?
Eu te aconselho, sinceramente, a primeiro calcular como já conhecemos e depois seguir com os cálculos do produto escalar. Isso te dará segurança e você não vai errar bobeira. Beleza?
É isso, bora fazer uns exercícios?
Exercício Resolvido #1
Determine o momento da força em relação ao ponto .
Passo 1
Vamos resolver essa questão usando o produto vetorial, porque os cálculos ficam muito mais simples.
Então, o nosso primeiro passo é determinar o vetor posição que começa no ponto e chega até qualquer ponto da linha de atuação da força:
Então, o vetor posição será:
Passo 2
A força só tem componente no eixo e podemos escrever sua forma vetorial assim:
Pronto! Agora é só fazermos o produt vetorial:
Esse determinante fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um mecânico aplica a força horizontal de perpendicularmente à chave de boca, como indicado na figura. Determine o momento desta força em relação ao centro do parafuso em A linha do centro da chave está situada no plano
Passo 1
Vamos desenhar esse sistema sem os corpos:
E definir primeiro o vetor :
Como você pode ver, ele coincide com o segmento . Assim, podemos defini-lo em termos das projeções do segmento nos eixos:
A partir dessa figura podemos perceber que a projeção de no eixo vale :
E a projeção no eixo é:
Então, o vetor posição será esse carinha aqui:
Ou em metros:
Passo 2
Pelo enunciado, dá para ver que a força é paralela ao eixo e aponta no sentido positivo do mesmo. Sendo assim:
Então, vamos fazer o produto vetorial:
Teremos que:
O último determinante será nulo. Fazendo os dois determinantes, temos que:
Resposta
Exercício Resolvido #3
As duas forças que atuam nos cabos das chaves de grifo formam um binário Expresse o binário como um vetor.
Passo 1
Nessa questão nós vamos fazer diferente: vamos dividir esse problema tridimensional em dois problemas bidimensionais.
Vamos chamar de e de os pontos onde cada força atua no sistema. Assim, visto de cima, temos:
E visto de frente:
Show?
O que vamos fazer é o seguinte: calcular o módulo de cada uma das componentes do vetor momento total e depois definir o sentido e a direção dessas componentes usando a regra da mão direita.
Passo 2
Colocando os eixos e as distâncias na figura da vista de cima:
Não dá para ver as forças nessa vistas porque elas são perpendiculares à tela. Mas da figura do enunciado, você consegue saber que a força que atua em aponta para fora da tela e a que atua em atua para dentro.
Além disso, a distância entre as forças é de , assim, o binário é dado por:
Qual a direção desse vetor momento? Bora usar a regra da mão direita:
Pela regra, o vetor aponta na direção negativa de . Assim:
Bora calcular a outra componente.
Passo 3
Fazendo a mesma coisa de antes, mas agora com relação ao eixo :
Repare que uma das forças não tem braço de alavanca com relação ao eixo , então o seu momento é nulo.
E pra determinar o sentido? Regra da mão direita:
Dá pra ver que essa componente aponta na direção positiva de , né? Assim:
Passo 4
O vetor momento binário será dado por:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Um helicóptero está mostrado e são dadas certas coordenadas tridimensionais. Durante um teste no solo, uma força aerodinâmica de é aplicada ao rotor de cauda , como mostrado. Determine o momento desta força em relação ao ponto da fuselagem.
Passo 1
Vamos desenhar esse sistema sem o helicóptero, afinal de contas ele atrapalha um pouquinho a nossa visualização, né?
Ou seja, a força está sendo aplicada no ponto:
Então, o vetor distância do ponto até o ponto é dado por:
E a força? Bom, pelo desenho do enunciado, a força é paralela ao eixo , no sentido negativo do mesmo. Então, teremos esse carinha aqui:
Passo 2
Show de bola! Temos tudo para calcular o nosso momento:
Então, vamos ter que:
O determinante do centro, que tem como unitário o , vai ser nulo, assim:
Sacou? É aquele mesmo passo a passo de sempre: define o vetor , depois define o vetor e, por fim, joga no determinante do produto vetorial.
Resposta
Exercício Resolvido #5
A barra curva tem uma massa por unidade de comprimento. Determine o momento do peso da barra em relação ao ponto
Passo 1
Vamos aplicar o momento calculado de forma vetorial nesse problema.
Primeiro, vamos dividir a estrutura em duas barras: uma barra vertical de comprimento e outra barra horizontal de comprimento . A força peso de cada uma dessas barras será:
Onde, é o peso da barra horizontal e é o peso da barra vertical.
Perceba que o peso sempre aponta pra baixo, ou seja, na direção negativa de
Sendo assim, o peso da barra vertical não exerce momento com relação ao ponto , já que a linha de ação do peso desta barra intercepta o ponto
Dessa forma, só a parte horizontal da barra exercerá momento. Essa parte tem o peso dado por:
Passo 2
Agora vamos definir o vetor :
Pela figura, as componentes de são: