Momentos em Três Dimensões

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Teoria

Introdução

Imagine um paralelogramo com uma força aplicada em um dos seus lados, assim:

E queremos saber o momento no ponto P . Como faremos isso?

Repare que agora temos um corpo com três dimensões... Então, quais das três distâncias têm que pegar para calcular o momento no ponto P ?

Quando olhamos só para o eixo x , a força F → está distante 5   m   do ponto P , mas quando olhamos para o eixo z percebemos que a força está distante 10   m de P . E aí?

É isso que vamos aprender agora, partiu?

Momento vetorial

Pra calcular o momento, basta a gente aplicar o produto vetorial que o representa:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

Antes de tudo, você precisa descobrir duas coisas: quem é o vetor r → e quem é o vetor F → .

Vamos pegar aquele exemplo inicial de novo:

O vetor r → é o vetor posição que começa no ponto onde você quer calcular o momento (no nosso caso o ponto P ) e termina em qualquer ponto da linha de atuação da força, assim:

A linha de atuação da força é uma linha ao longo da direção da força F , como podemos ver no desenho acima. Então, é muito mais fácil colocar o vetor r → na face do cubo do que chegando em outro ponto da linha de atuação, pois assim ele terá somente duas componentes: no eixo x e z , assim:

r → = 5 i ^ + 0 j ^ + 10 k ^   m

Se colocássemos o vetor r → terminando onde a força F →   começa, a sua componente no eixo y não seria mais zero o que daria mais trabalho nos cálculos!

A força F → está na direção do eixo y , então vamos supor que seu módulo seja igual a 20   N , então:

F → = 20 j ^   N

Agora é só fazer este produto vetorial:

M → = r → × F →         →             M → = 5 i ^ + 0 j ^ + 10 k ^ × 20 j ^

M → = i ^ j ^ k ^ 5 0 10 0 20 0 = 0 10 20 0 i ^ - 5 10 0 0 j ^ + 5 0 0 20 k ^ =

M → = - 200 i ^ + 100 k ^   N ⋅ m

Teorema de Varignon em Três Dimensões

Se você achou o produto vetorial complicado, vou te mostrar outra maneira de calcular o momento! Vamos seguir esse passo a passo aqui:

  1. Primeira coisa que você tem que fazer é achar as componentes da força em cada eixo;
  2. Segundo passo é calcular o momento que cada componente faz com relação ao ponto P e usar a regra da mão direita para saber o seu sentido;
  3. Agora é só somar todos os momentos para achar o momento total!

Mas a regra aqui é: para cada componente você vai pegar a distância perpendicular a ela e multiplicar pelo módulo da componente.

  • Se a sua componente está no eixo x , então você vai pegar as distâncias que estão nos eixos y e z , pois esses dois eixos são perpendicular ao eixo x ;
  • Se sua componente está no eixo y , você vai pegar as distâncias que estão nos eixos x e z . Esse é o caso do nosso exemplo, olha:
  • Se sua componente está no eixo z , você vai pegar as distâncias que estão nos eixos x e y .
  • Repare que quando a força é paralela a um eixo, ela não gera momento em nenhum ponto que pertença a este eixo.

    Quando você utiliza esse método é preciso usar também a regra da mão direita.

    Para entendermos melhor vamos usar o nosso exemplo:

    Já sabemos as duas distâncias que temos que pegar para calcular o momento com relação ao ponto P . Agora vamos calcular cada momento e usar a regra da mão direita para cada um deles.

  • Cálculo do momento para a distância que está no eixo z : vamos olhar para a face da frente do retângulo, pois nela estão todas as informações que vamos usar:
  • O módulo do momento vai ser:

    M = F d         →             M = 20 ( 10 )

    M = 200   N ⋅ m

    Mas qual o sentido desse momento? E em que eixo ele está?

    Essas perguntas são respondidas pela regra da mão direita: é só você colocar os 4 dedos da palma da sua mão direita (exceto o polegar) no sentido que a seta da força aponta e fazer sua mão girar em torno do ponto P :

    Repare que seu polegar aponta para dentro da tela, no sentido negativo do eixo x . Então, o vetor momento no eixo x será:

    M → x = - 200 i ^   N ⋅ m

  • Cálculo do momento para a distância que está no eixo x : vamos olhar para a face de cima do retângulo, pois nela estão todas as informações que vamos usar agora:

O módulo do momento vai ser:

M = F d         →             M = 20 ( 5 )

M = 100   N ⋅ m

Pela regra da mão direita você coloca os 4 dedos da palma da sua mão direita (exceto o polegar) no sentido que a seta da força aponta e fazer sua mão girar em torno do ponto P :

Repare que seu polegar aponta para fora da tela, no sentido positivo do eixo z . Então, o vetor momento no eixo z será:

M → z = 100 k ^   N ⋅ m

Agora é só somarmos os dois momentos:

M → = ( - 200 i ^ + 100 k ^ )   N ⋅ m  

Repare que deu a mesma coisa do cálculo por produto vetorial, mas dessa maneira acabou dando mais trabalho!

Projeção de um momento em uma direção

Pode ser que a questão queira que você calcule o momento em relação a um certo eixo, ou direção. Vamos dizer que o objetivo seja calcular o momento em relação a uma direção   n → . O que você fará, então?

Você vai projetar esse momento na direção n → , como fazíamos com as forças:

M → = M → ⋅ n → n →

Show de bola? Só isso!

Ah, existe outra forma de se representar isso. Como podemos escrever o vetor momento assim:

M → = r → × F →

Então:

M → = r → × F → ⋅ n → n →

A expressão r → × F → ⋅ n → é chamada de produto escalar triplo.

Preste atenção em uma coisa: ali dentro tem dois produtos, um escalar e um vetorial. Você precisa fazer primeiro o vetorial, sempre!

Caso contrário, quando você fizer F → . n → , será gerado um escalar e ele não poderá ser usado no produto vetorial com r → . Show?

Eu te aconselho, sinceramente, a primeiro calcular M → como já conhecemos e depois seguir com os cálculos do produto escalar. Isso te dará segurança e você não vai errar bobeira. Beleza?

É isso, bora fazer uns exercícios?

Teorema de Varignon em Três Dimensões

Projeção de um momento em uma direção

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o momento da força F → em relação ao ponto O .

Passo 1

Vamos resolver essa questão usando o produto vetorial, porque os cálculos ficam muito mais simples.

Então, o nosso primeiro passo é determinar o vetor posição r → que começa no ponto O e chega até qualquer ponto da linha de atuação da força:

Então, o vetor posição será:

r → = 0 i ^ + b j ^ + c k ^

Passo 2

A força F → só tem componente no eixo x e podemos escrever sua forma vetorial assim:

F → = F i ^

Pronto! Agora é só fazermos o produt vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0 b c F 0 0

Esse determinante fica:

M → = b c 0 0 i ^ - 0 c F 0 j ^ + 0 b F 0 k ^

M → = F c j ^ - F b k ^  

Resposta

M → = F c j ^ - F b k ^  

Exercício Resolvido #2

Um mecânico aplica a força horizontal de 100   N perpendicularmente à chave de boca, como indicado na figura. Determine o momento desta força em relação ao centro do parafuso em O . A linha do centro da chave está situada no plano x y .

Passo 1

Vamos desenhar esse sistema sem os corpos:

E definir primeiro o vetor r → :

Como você pode ver, ele coincide com o segmento O A . Assim, podemos defini-lo em termos das projeções do segmento nos eixos:

A partir dessa figura podemos perceber que a projeção de O A no eixo x   vale :

O A - x = 185 cos ⁡ 15 ° m m

E a projeção no eixo y é:

O A - y = 185 s e n 15 °   m m

Então, o vetor posição será esse carinha aqui:

r → = 185 cos ⁡ 15 ° i ^ + 185 s e n 15 ° j ^   m m

r → = 178,69 i ^ + 47,88 j ^   m m

Ou em metros:

r → = 0,179 i ^ + 0,0479 j ^   m

Passo 2

Pelo enunciado, dá para ver que a força é paralela ao eixo z e aponta no sentido positivo do mesmo. Sendo assim:

F → = 100 k ^

Então, vamos fazer o produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0,179 0,0479 0 0 0 100

Teremos que:

M → = 0,0479 0 0 100 i ^ - 0,179 0 0 100 j ^ + 0,179 0,0479 0 0 k ^

O último determinante será nulo. Fazendo os dois determinantes, temos que:

M → = 4,79 i ^ - 17,9 j ^   N . m

Resposta

M → = 4,79 i ^ - 17,9 j ^   N . m

Exercício Resolvido #3

As duas forças que atuam nos cabos das chaves de grifo formam um binário M . Expresse o binário como um vetor.

Passo 1

Nessa questão nós vamos fazer diferente: vamos dividir esse problema tridimensional em dois problemas bidimensionais.

Vamos chamar de A   e de B os pontos onde cada força atua no sistema. Assim, visto de cima, temos:

E visto de frente:

Show?

O que vamos fazer é o seguinte: calcular o módulo de cada uma das componentes do vetor momento total e depois definir o sentido e a direção dessas componentes usando a regra da mão direita.

Passo 2

Colocando os eixos e as distâncias na figura da vista de cima:

Não dá para ver as forças nessa vistas porque elas são perpendiculares à tela. Mas da figura do enunciado, você consegue saber que a força que atua em A aponta para fora da tela e a que atua em B atua para dentro.

Além disso, a distância entre as forças é de 500   m m , assim, o binário é dado por:

M x = 150 500.10 - 3 = 75   N ⋅ m

Qual a direção desse vetor momento? Bora usar a regra da mão direita:

Pela regra, o vetor aponta na direção negativa de x . Assim:

M x = - 75 i ^   N ⋅ m

Bora calcular a outra componente.

Passo 3

Fazendo a mesma coisa de antes, mas agora com relação ao eixo y :

M y = 150 . 150.10 - 3 = 22,5   N ⋅ m

Repare que uma das forças não tem braço de alavanca com relação ao eixo y , então o seu momento é nulo.

E pra determinar o sentido? Regra da mão direita:

Dá pra ver que essa componente aponta na direção positiva de y , né? Assim:

M y = 22,5 j ^   N ⋅ m

Passo 4

O vetor momento binário será dado por:

M → = M → x + M → y

M → = - 75 i ^ + 22,5 j ^   N ⋅ m

Resposta

M → = - 75 i ^ + 22,5 j ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #4

Um helicóptero está mostrado e são dadas certas coordenadas tridimensionais. Durante um teste no solo, uma força aerodinâmica de 400   N é aplicada ao rotor de cauda P , como mostrado. Determine o momento desta força em relação ao ponto O da fuselagem.

Passo 1

Vamos desenhar esse sistema sem o helicóptero, afinal de contas ele atrapalha um pouquinho a nossa visualização, né?

Ou seja, a força está sendo aplicada no ponto:

P = ( - 6 ; 0.8 ; 1.2 )

Então, o vetor distância do ponto P até o ponto O é dado por:

r → = P O → = O - P

r → = 0,0 , 0 - - 6,0.8,1.2 = 6 , - 0.8 , - 1.2

r → = 6 i ^ - 0.8 j ^ - 1.2 k ^   m  

E a força? Bom, pelo desenho do enunciado, a força é paralela ao eixo y , no sentido negativo do mesmo. Então, teremos esse carinha aqui:

F → = - 400 j ^   N

Passo 2

Show de bola! Temos tudo para calcular o nosso momento:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r 1 r 2 r 3 F 1 F 2 F 3 = i ^ j ^ k ^ 6 - 0.8 - 1.2 0 - 400 0

Então, vamos ter que:

M → = - 0,8 - 1,2 - 400 0 i ^ - 6 - 1,2 0 0 j ^ + 6 - 0.8 0 - 400 k ^

O determinante do centro, que tem como unitário o j ^ , vai ser nulo, assim:

M → = 480 i ^ - - 2400 k ^

M → = - 480 i ^ - 2400 k ^   N ⋅ m

Sacou? É aquele mesmo passo a passo de sempre: define o vetor r → , depois define o vetor F → e, por fim, joga no determinante do produto vetorial.

Resposta

M → = - 480 i ^ - 2400 k ^   N ⋅ m