Binário, Torçor e Resultante

Teoria Completa

Introdução

Você já viu como calcular um sistema equivalente força-binário em duas dimensões. Além disso, você viu como achar a posição da resultante das forças através desse sistema.

Agora imagine que você tem uma placa retangular fininha, onde estão atuando todas essas forças aqui:

Como você faria para representar esse sistema de forças por um binário e uma força resultante no ponto O ?

Parece mais complicado, não é? Confesso que é um pouquinho, meu amigo, mas estaremos juntos nessa!

Sistema força-binário equivalente em 3D

Quando a nossa intenção é representar um sistema de forças por uma resultante em um ponto, a primeira coisa que você tem que fazer é definir cada uma dessas forças. No nosso exemplo, temos as seguintes forças:

F → 1 = - 10 k ^   N

F → 2 = 10 k ^   N

F → 3 = - 10 s e n   30 ° j ^ - 10 cos ⁡ 30 ° k ^         →           F → 3 = - 5 j ^ - 8,66 k ^   N

E:

F → 4 = 10 s e n   30 ° j ^ + 10 cos ⁡ 30 ° k ^         →           F → 4 = 5 j ^ + 8,66 k ^   N

A segunda coisa que você precisa fazer é calcular a resultante das forças:

R → = - 10 k ^ + 10 k ^ + ( - 5 j ^ - 8,66 k ^     ) + ( 5 j ^ + 8,66 k ^     )

Pra fazer isso, basta somar as componentes termo a termo:

R → = 0 →   N

Repare que todas as nossas forças tem o mesmo módulo e se anulam!

E o momento? Bom, como vimos, o binário equivalente representa a soma de todos os momentos em relação ao ponto de referência.

Então, o momento equivalente do nosso exemplo com relação ao ponto O será:

M → O = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4

Agora que são elas: qual a melhor maneira de calcular cada momentinho desses? Como vimos no capítulo anterior, é através do produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

Sendo assim, você vai precisar definir cada um dos vetores r → . Mas isso é bem simples, pois esses são braços de alavanca, ou seja, a distância do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de referência.

Então, no nosso exemplo, temos que calcular o momento que cada força faz cm relação ao ponto O :

  • Força F → 1 : repare que a linha de ação da força F → 1 passa pelo ponto O , então o vetor r → 1 é zero:
  • r → 1 = 0 →

    Então, o momento da força F → 1   também é zero:

    M → 1 = 0 →

  • Força F → 2 : o vetor r → 2 vai ser:
  • r → 2 = 10 j ^   m

    E o momento de F → 2 com relação ao ponto O será:

    M → 2 = r → 2 ×   F → 2 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

    M → 2 = i ^ j ^ k ^ 0 10 0 0 0 10 = 10 0 0 10 i ^ - 0 0 0 10 j ^ + 0 10 0 0 k ^

    M → 2 = 100 i ^   N ⋅ m

  • Força F → 3 : o vetor r → 3   é:
  • r → 3 = 20 i ^   m

    Então, o produto vetorial fica:

    M → 3 = r → 3 ×   F → 3 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

    M → 3 = i ^ j ^ k ^ 2 0 0 0 0 - 5 - 8,66 = 0 0 - 5 - 8,66 i ^ - 2 0 0 0 - 8,66 j ^ + 2 0 0 0 - 5 k ^

    M → 3 = 173,2 j ^ - 100 k ^   N ⋅ m

  • Força F → 4 : o vetor r → 4   é:

r → 4 = 20 i ^ + 10 j ^   m

O produto vetorial fica assim:

M → 4 = r → 4 ×   F → 4 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

M → 4 = i ^ j ^ k ^ 20 1 0 0 0 5 8,66 = 1 0 0 5 8,66 i ^ - 20 0 0 8,66 j ^ + 20 1 0 0 5 k ^

M → 4 = 86,6 i ^ - 173,2 j ^ + 100 k ^   N ⋅ m

Então, o momento resultante no ponto O será a soma de cada um desses momentos que calculamos:

M → O = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4

M → O = 0 + 100 i ^ + ( 173,2 j ^ - 100 k ^ ) + ( 86,6 i ^ - 173,2 j ^ + 100 k ^ )

M → O = 186,6 i ^   N ⋅ m

Observação: é claro que podemos calcular os momentos através do momento que cada componente exerce em relação a cada eixo, como vimos no capítulo anterior. Mas de uma forma geral, fazendo vetorialmente a gente tem mais chances de acertar.

Torçor e Resultante

Além do sistema equivalente força-binário, você também pode representar um sistema de forças por um torçor e uma força resultante.

Um torçor é quando o momento resultante é paralelo à força resultante. Um torçor é positivo se os vetores momento e força resultante apontam no mesmo sentido e negativo se eles apontam em sentidos opostos.

Como assim? Bem, imagine que temos uma resultante R → e um binário M → representados no ponto abaixo:

O momento faz um certo ângulo com a força, sendo que ambos pertencem ao mesmo plano vertical. Então, podemos decompor esse momento em uma componente paralela a R → e uma perpendicular:

M → = M → 1 + M → 2

Show de bola? E se você somar a esse sistema duas forças: R → e - R → , separadas por uma distância d ?

A primeira conclusão é que a resultante das forças continua a mesma ( R → ), afinal de contas é como se você tivesse somado 1 e - 1 a alguma conta.

Então vamos ver:

Repare que as duas forças iniciais se anulam e sobra só aquela força afastada em d unidades. Além disso, lembra que o binário é um vetor livre, que pode ser representado em qualquer ponto? Vamos deslocar a componente M → 1 para cima da força R → que sobrou:

Uma dúvida que você pode ter é: quanto vale d para que possamos excluir o M → 2 e representar tudo com o torçor? Bom, perceba que R → exerce um momento em relação a esse ponto inicial agora, pois está afastado por uma distância d .

Como o que fizemos foi uma manipulação, é de se esperar que não exista um momento “extra” por causa desse deslocamento. Sendo assim, o módulo do momento que R → faz em relação ao ponto inicial tem que ser M → 2 :

M → 2 = R → d         →         d = M → 2 R →

Ou, vetorialmente:

M → 2 = d → × R →

E o torçor? Como vimos, é esse amiguinho aqui:

Tá, mas e como a gente equaciona isso tudo? Bom, lembra do in��cio que:

M → = M → 1 + M → 2

Substituindo a nova relação que achamos para M → 2 :

M → = M → 1 + d → × R →

Show? Basicamente, M → é o momento resultante do sistema e M → 1 é o momento associado ao torçor (que tem a mesma direção que R → ). Você pode encontrar essa equação escrita assim também:

M → R e s = M → + d → × R →

Resolvendo uma questão sobre torçor

E se o enunciado te pedir pra achar o torçor associado àquele sistema?

Bom, você vai seguir um caminho mais ou menos assim:

  1. Se o momento e a força resultante do sistema ainda não estiverem calculados, você vai calculá-los, seguindo tudo que usamos antes. Isso é o mesmo que calcular o sistema força-binário equivalente.
  2. De posse do vetor da força resultante, você vai escrevê-lo no formato abaixo:
  3. F → = F → n →

    Ou seja, o módulo do vetor força vezes um vetor direção n → . Como se faz isso? Bom, primeiro você calcula o módulo de F → :

    Sendo F → :

    F → = F → x + F → y + F → z

    F → = F x 2 + F y 2 + F z 2

    De posse desse valor, você vai multiplicar e dividir o vetor força por ele:

    F → = F → F → . F → = 1 . F →

    Repare que isso não afeta nossa força. Mas você pode estar se perguntando: isso não vai alterar nada? Mas não é que vai! Olha só isso aqui, é a mesma coisa que tínhamos antes:

    F → = F → . F → x F → + F → y F → + F → z F →

    Só que, como F → x F → + F → y F → + F → z F → é a própria força dividida pelo módulo, podemos dizer que esse é o vetor normalizado:

    n → = F → x F → + F → y F → + F → z F →

    Aí chegamos ao que queríamos:

    F → = F → n →

    Show? Basicamente, calcule o módulo da força e divida cada componente dela pelo seu módulo. Esse vetor n → vai ser importante na hora de definir o torçor, já que ele tem a mesma direção da força resultante!

  4. Você não sabe o módulo do torçor, M , nem quem é o vetor d → . Mas você sabe qual é a direção de M : A mesma de R → , representada pelo vetor n → :
  5. M → = M ⋅ n →

    E você pode escrever o vetor de forma genérica, assim:

    d → = d 1 , d 2 , d 3

  6. Resolva o produto d → × R → e depois some ao vetor M → . Você vai chegar numa equação com as variáveis d 1 , d 2 ,   d 3 e M → .
  7. Agora é só igualar a equação M → + d → × R → com o vetor momento resultante do início:

M → R e s = M → + d → × R →

Você vai chegar a um sistema com 4   variáveis. Aí é só resolver!!!

Observação muito importante:

Algumas vezes, o vetor do momento resultante será perpendicular ao vetor força resultante:

Nesse caso, não existirá uma componente do momento que seja paralela à força. O que isso significa?

Significa que não existirá um momento associado ao torçor. Ou seja, você até pode representar a força resultante a uma certa distância d → do ponto de referência, mas será apenas uma força, sem um momento associado:

Pra resolver esses problemas, você vai usar a equação:

M → = d → × R →

Como você tem o valor da força resultante e do momento resultante, você consegue achar d → .

E é basicamente isso, mas não se preocupe, vamos fazer alguns exercícios. Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 76,2/169

As direções de rotação dos eixos de entrada A e de saída B no redutor de engrenagens estão indicadas pelas setas curvadas tracejadas. Um torque de entrada (binário) de 80   N ⋅ m é aplicada ao eixo A na direção da rotação. O eixo de saída B fornece um torque de 320   N ⋅ m à máquina que ele controla (que não está mostrada). O eixo da máquina exerce um torque de reação igual e contrário no eixo de saída do redutor. a ) Determine a resultante M dos dois binários que atuam no redutor e b )   calcule o cosseno diretor de M em relação ao eixo x .

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Passo 1

Temos dois binários na figura: um deles está na direção x e outro na direção y .

Porém, não sabemos o sentido dos vetores.

Vamos usar, então, a regra da mão direita pra saber o sentido de cada um.

Passo 2

Usando a regra:

Perceba que o momento no eixo x aponta no sentido negativo do eixo e que o momento no eixo y aponta no sentido negativo desse seu eixo. Sendo assim:

M → = - 320 i ^ - 80 j ^   N ⋅ m

Passo 3

Agora queremos achar o cosseno diretor de M → em relação ao eixo x . Vamos antes desenhar o vetor M → no plano x y , visto de cima:

Beleza! Agora vamos calcular o módulo do vetor M → :

M → = - 320 2 + - 80 2 = 329,8   N ⋅ m

Assim, o cosseno diretor é dado pelo cosseno do triângulo retângulo que o vetor M → faz com os eixos. Assim, podemos calcular ele assim:

cos ⁡ θ x = M x M → = - 320 329,8 = - 0,97

Resposta

a )   M → = - 320 i ^ - 80 j ^   N ⋅ m

b )   cos ⁡ θ x = - 0,97

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/159

Determine o sistema força-binário em O , que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo A O B . R é perpendicular a M 0 ? Nesse caso, determine as coordenadas no plano x z por onde passa resultante do sistema de forças.

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Passo 1

Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo z .

Podemos definir a força de 600   N assim:

F → 600 = 600 s e n 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ = 300 j ^ + 519,6 k ^

Podemos definir a força de 800   N assim:

F → 800 = - 800 s e n 45 ° j ^ + 800 cos ⁡ 45 ° k ^ = - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

Assim, a força resultante é dada por:

R → = F → 600 + F → 800 = 300 j ^ + 519,6 k ^ + - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

R → = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^   N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto O :

Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo x . Então, vamos fazer o produto vetorial para cada força.

Para a força F → 600 , o vetor distância é:

r → 600 = - 80 i ^   m m = 0,08 i ^   m

Assim, o produto vetorial fica:

M → 600 = r → 600 × F → 600 = i ^ j ^ k ^ - 0,08 0 0 0 300 519,6

= i ^ 0 0 300 519,6 - j ^ - 0,08 0 0 519,6 + k ^ - 0,08 0 0 300

M → 600 = 41,57 j ^ - 24 k ^   N ⋅ m

Para a força F → 800 , o vetor distância é:

r → 800 = 160 i ^   m m = 0,16 i ^   m

Então, o produto vetorial fica:

M → 800 = r → 800 × F → 800 = i ^ j ^ k ^ 0,16 0 0 0 - 565,7 565,7

= i ^ 0 0 - 565,7 565,7 - j ^ 0,16 0 0 565,7 + k ^ 0,16 0 0 - 565,7

M → 800 = - 90,5 j ^ - 90,5 k ^   N ⋅ m

Assim, o momento total em relação ao ponto O :

M → o = M → 600 + M → 800

M → o = 41,57 j ^ - 24 k ^ - 90,5 j ^ - 90,5 k ^