Binário, Torçor e Resultante

Teoria Completa

Introdução

Você já viu como calcular um sistema equivalente força-binário em duas dimensões. Além disso, você viu como achar a posição da resultante das forças através desse sistema.

Agora imagine que você tem uma placa retangular fininha, onde estão atuando todas essas forças aqui:

Como você faria para representar esse sistema de forças por um binário e uma força resultante no ponto O ?

Parece mais complicado, não é? Confesso que é um pouquinho, meu amigo, mas estaremos juntos nessa!

Sistema força-binário equivalente em 3D

Quando a nossa intenção é representar um sistema de forças por uma resultante em um ponto, a primeira coisa que você tem que fazer é definir cada uma dessas forças. No nosso exemplo, temos as seguintes forças:

F → 1 = - 10 k ^   N

F → 2 = 10 k ^   N

F → 3 = - 10 s e n   30 ° j ^ - 10 cos ⁡ 30 ° k ^         →           F → 3 = - 5 j ^ - 8,66 k ^   N

E:

F → 4 = 10 s e n   30 ° j ^ + 10 cos ⁡ 30 ° k ^         →           F → 4 = 5 j ^ + 8,66 k ^   N

A segunda coisa que você precisa fazer é calcular a resultante das forças:

R → = - 10 k ^ + 10 k ^ + ( - 5 j ^ - 8,66 k ^     ) + ( 5 j ^ + 8,66 k ^     )

Pra fazer isso, basta somar as componentes termo a termo:

R → = 0 →   N

Repare que todas as nossas forças tem o mesmo módulo e se anulam!

E o momento? Bom, como vimos, o binário equivalente representa a soma de todos os momentos em relação ao ponto de referência.

Então, o momento equivalente do nosso exemplo com relação ao ponto O será:

M → O = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4

Agora que são elas: qual a melhor maneira de calcular cada momentinho desses? Como vimos no capítulo anterior, é através do produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

Sendo assim, você vai precisar definir cada um dos vetores r → . Mas isso é bem simples, pois esses são braços de alavanca, ou seja, a distância do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de referência.

Então, no nosso exemplo, temos que calcular o momento que cada força faz cm relação ao ponto O :

  • Força F → 1 : repare que a linha de ação da força F → 1 passa pelo ponto O , então o vetor r → 1 é zero:
  • r → 1 = 0 →

    Então, o momento da força F → 1   também é zero:

    M → 1 = 0 →

  • Força F → 2 : o vetor r → 2 vai ser:
  • r → 2 = 10 j ^   m

    E o momento de F → 2 com relação ao ponto O será:

    M → 2 = r → 2 ×   F → 2 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

    M → 2 = i ^ j ^ k ^ 0 10 0 0 0 10 = 10 0 0 10 i ^ - 0 0 0 10 j ^ + 0 10 0 0 k ^

    M → 2 = 100 i ^   N ⋅ m

  • Força F → 3 : o vetor r → 3   é:
  • r → 3 = 20 i ^   m

    Então, o produto vetorial fica:

    M → 3 = r → 3 ×   F → 3 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

    M → 3 = i ^ j ^ k ^ 2 0 0 0 0 - 5 - 8,66 = 0 0 - 5 - 8,66 i ^ - 2 0 0 0 - 8,66 j ^ + 2 0 0 0 - 5 k ^

    M → 3 = 173,2 j ^ - 100 k ^   N ⋅ m

  • Força F → 4 : o vetor r → 4   é:

r → 4 = 20 i ^ + 10 j ^   m

O produto vetorial fica assim:

M → 4 = r → 4 ×   F → 4 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

M → 4 = i ^ j ^ k ^ 20 1 0 0 0 5 8,66 = 1 0 0 5 8,66 i ^ - 20 0 0 8,66 j ^ + 20 1 0 0 5 k ^

M → 4 = 86,6 i ^ - 173,2 j ^ + 100 k ^   N ⋅ m

Então, o momento resultante no ponto O será a soma de cada um desses momentos que calculamos:

M → O = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4

M → O = 0 + 100 i ^ + ( 173,2 j ^ - 100 k ^ ) + ( 86,6 i ^ - 173,2 j ^ + 100 k ^ )

M → O = 186,6 i ^   N ⋅ m

Observação: é claro que podemos calcular os momentos através do momento que cada componente exerce em relação a cada eixo, como vimos no capítulo anterior. Mas de uma forma geral, fazendo vetorialmente a gente tem mais chances de acertar.

Torçor e Resultante

Além do sistema equivalente força-binário, você também pode representar um sistema de forças por um torçor e uma força resultante.

Um torçor é quando o momento resultante é paralelo à força resultante. Um torçor é positivo se os vetores momento e força resultante apontam no mesmo sentido e negativo se eles apontam em sentidos opostos.

Como assim? Bem, imagine que temos uma resultante R → e um binário M → representados no ponto abaixo:

O momento faz um certo ângulo com a força, sendo que ambos pertencem ao mesmo plano vertical. Então, podemos decompor esse momento em uma componente paralela a R → e uma perpendicular:

M → = M → 1 + M → 2

Show de bola? E se você somar a esse sistema duas forças: R → e - R → , separadas por uma distância d ?

A primeira conclusão é que a resultante das forças continua a mesma ( R → ), afinal de contas é como se você tivesse somado 1 e - 1 a alguma conta.

Então vamos ver: