Binário, Torçor e Resultante

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Teoria

Introdução

Você já viu como calcular um sistema equivalente força-binário em duas dimensões. Além disso, você viu como achar a posição da resultante das forças através desse sistema.

Agora imagine que você tem uma placa retangular fininha, onde estão atuando todas essas forças aqui:

Como você faria para representar esse sistema de forças por um binário e uma força resultante no ponto O ?

Parece mais complicado, não é? Confesso que é um pouquinho, meu amigo, mas estaremos juntos nessa!

Sistema força-binário equivalente em 3D

Quando a nossa intenção é representar um sistema de forças por uma resultante em um ponto, a primeira coisa que você tem que fazer é definir cada uma dessas forças. No nosso exemplo, temos as seguintes forças:

F → 1 = - 10 k ^   N

F → 2 = 10 k ^   N

F → 3 = - 10 s e n   30 ° j ^ - 10 cos ⁡ 30 ° k ^         →           F → 3 = - 5 j ^ - 8,66 k ^   N

E:

F → 4 = 10 s e n   30 ° j ^ + 10 cos ⁡ 30 ° k ^         →           F → 4 = 5 j ^ + 8,66 k ^   N

A segunda coisa que você precisa fazer é calcular a resultante das forças:

R → = - 10 k ^ + 10 k ^ + ( - 5 j ^ - 8,66 k ^     ) + ( 5 j ^ + 8,66 k ^     )

Pra fazer isso, basta somar as componentes termo a termo:

R → = 0 →   N

Repare que todas as nossas forças tem o mesmo módulo e se anulam!

E o momento? Bom, como vimos, o binário equivalente representa a soma de todos os momentos em relação ao ponto de referência.

Então, o momento equivalente do nosso exemplo com relação ao ponto O será:

M → O = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4

Agora que são elas: qual a melhor maneira de calcular cada momentinho desses? Como vimos no capítulo anterior, é através do produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

Sendo assim, você vai precisar definir cada um dos vetores r → . Mas isso é bem simples, pois esses são braços de alavanca, ou seja, a distância do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de referência.

Então, no nosso exemplo, temos que calcular o momento que cada força faz cm relação ao ponto O :

  • Força F → 1 : repare que a linha de ação da força F → 1 passa pelo ponto O , então o vetor r → 1 é zero:
  • r → 1 = 0 →

    Então, o momento da força F → 1   também é zero:

    M → 1 = 0 →

  • Força F → 2 : o vetor r → 2 vai ser:
  • r → 2 = 10 j ^   m

    E o momento de F → 2 com relação ao ponto O será:

    M → 2 = r → 2 ×   F → 2 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

    M → 2 = i ^ j ^ k ^ 0 10 0 0 0 10 = 10 0 0 10 i ^ - 0 0 0 10 j ^ + 0 10 0 0 k ^

    M → 2 = 100 i ^   N ⋅ m

  • Força F → 3 : o vetor r → 3   é:
  • r → 3 = 20 i ^   m

    Então, o produto vetorial fica:

    M → 3 = r → 3 ×   F → 3 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

    M → 3 = i ^ j ^ k ^ 2 0 0 0 0 - 5 - 8,66 = 0 0 - 5 - 8,66 i ^ - 2 0 0 0 - 8,66 j ^ + 2 0 0 0 - 5 k ^

    M → 3 = 173,2 j ^ - 100 k ^   N ⋅ m

  • Força F → 4 : o vetor r → 4   é:

r → 4 = 20 i ^ + 10 j ^   m

O produto vetorial fica assim:

M → 4 = r → 4 ×   F → 4 = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

M → 4 = i ^ j ^ k ^ 20 1 0 0 0 5 8,66 = 1 0 0 5 8,66 i ^ - 20 0 0 8,66 j ^ + 20 1 0 0 5 k ^

M → 4 = 86,6 i ^ - 173,2 j ^ + 100 k ^   N ⋅ m

Então, o momento resultante no ponto O será a soma de cada um desses momentos que calculamos:

M → O = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4

M → O = 0 + 100 i ^ + ( 173,2 j ^ - 100 k ^ ) + ( 86,6 i ^ - 173,2 j ^ + 100 k ^ )

M → O = 186,6 i ^   N ⋅ m

Observação: é claro que podemos calcular os momentos através do momento que cada componente exerce em relação a cada eixo, como vimos no capítulo anterior. Mas de uma forma geral, fazendo vetorialmente a gente tem mais chances de acertar.

Torçor e Resultante

Além do sistema equivalente força-binário, você também pode representar um sistema de forças por um torçor e uma força resultante.

Um torçor é quando o momento resultante é paralelo à força resultante. Um torçor é positivo se os vetores momento e força resultante apontam no mesmo sentido e negativo se eles apontam em sentidos opostos.

Como assim? Bem, imagine que temos uma resultante R → e um binário M → representados no ponto abaixo:

O momento faz um certo ângulo com a força, sendo que ambos pertencem ao mesmo plano vertical. Então, podemos decompor esse momento em uma componente paralela a R → e uma perpendicular:

M → = M → 1 + M → 2

Show de bola? E se você somar a esse sistema duas forças: R → e - R → , separadas por uma distância d ?

A primeira conclusão é que a resultante das forças continua a mesma ( R → ), afinal de contas é como se você tivesse somado 1 e - 1 a alguma conta.

Então vamos ver:

Repare que as duas forças iniciais se anulam e sobra só aquela força afastada em d unidades. Além disso, lembra que o binário é um vetor livre, que pode ser representado em qualquer ponto? Vamos deslocar a componente M → 1 para cima da força R → que sobrou:

Uma dúvida que você pode ter é: quanto vale d para que possamos excluir o M → 2 e representar tudo com o torçor? Bom, perceba que R → exerce um momento em relação a esse ponto inicial agora, pois está afastado por uma distância d .

Como o que fizemos foi uma manipulação, é de se esperar que não exista um momento “extra” por causa desse deslocamento. Sendo assim, o módulo do momento que R → faz em relação ao ponto inicial tem que ser M → 2 :

M → 2 = R → d         →         d = M → 2 R →

Ou, vetorialmente:

M → 2 = d → × R →

E o torçor? Como vimos, é esse amiguinho aqui:

Tá, mas e como a gente equaciona isso tudo? Bom, lembra do in��cio que:

M → = M → 1 + M → 2

Substituindo a nova relação que achamos para M → 2 :

M → = M → 1 + d → × R →

Show? Basicamente, M → é o momento resultante do sistema e M → 1 é o momento associado ao torçor (que tem a mesma direção que R → ). Você pode encontrar essa equação escrita assim também:

M → R e s = M → + d → × R →

Resolvendo uma questão sobre torçor

E se o enunciado te pedir pra achar o torçor associado àquele sistema?

Bom, você vai seguir um caminho mais ou menos assim:

  1. Se o momento e a força resultante do sistema ainda não estiverem calculados, você vai calculá-los, seguindo tudo que usamos antes. Isso é o mesmo que calcular o sistema força-binário equivalente.
  2. De posse do vetor da força resultante, você vai escrevê-lo no formato abaixo:
  3. F → = F → n →

    Ou seja, o módulo do vetor força vezes um vetor direção n → . Como se faz isso? Bom, primeiro você calcula o módulo de F → :

    Sendo F → :

    F → = F → x + F → y + F → z

    F → = F x 2 + F y 2 + F z 2

    De posse desse valor, você vai multiplicar e dividir o vetor força por ele:

    F → = F → F → . F → = 1 . F →

    Repare que isso não afeta nossa força. Mas você pode estar se perguntando: isso não vai alterar nada? Mas não é que vai! Olha só isso aqui, é a mesma coisa que tínhamos antes:

    F → = F → . F → x F → + F → y F → + F → z F →

    Só que, como F → x F → + F → y F → + F → z F → é a própria força dividida pelo módulo, podemos dizer que esse é o vetor normalizado:

    n → = F → x F → + F → y F → + F → z F →

    Aí chegamos ao que queríamos:

    F → = F → n →

    Show? Basicamente, calcule o módulo da força e divida cada componente dela pelo seu módulo. Esse vetor n → vai ser importante na hora de definir o torçor, já que ele tem a mesma direção da força resultante!

  4. Você não sabe o módulo do torçor, M , nem quem é o vetor d → . Mas você sabe qual é a direção de M : A mesma de R → , representada pelo vetor n → :
  5. M → = M ⋅ n →

    E você pode escrever o vetor de forma genérica, assim:

    d → = d 1 , d 2 , d 3

  6. Resolva o produto d → × R → e depois some ao vetor M → . Você vai chegar numa equação com as variáveis d 1 , d 2 ,   d 3 e M → .
  7. Agora é só igualar a equação M → + d → × R → com o vetor momento resultante do início:

M → R e s = M → + d → × R →

Você vai chegar a um sistema com 4   variáveis. Aí é só resolver!!!

Observação muito importante:

Algumas vezes, o vetor do momento resultante será perpendicular ao vetor força resultante:

Nesse caso, não existirá uma componente do momento que seja paralela à força. O que isso significa?

Significa que não existirá um momento associado ao torçor. Ou seja, você até pode representar a força resultante a uma certa distância d → do ponto de referência, mas será apenas uma força, sem um momento associado:

Pra resolver esses problemas, você vai usar a equação:

M → = d → × R →

Como você tem o valor da força resultante e do momento resultante, você consegue achar d → .

E é basicamente isso, mas não se preocupe, vamos fazer alguns exercícios. Bora praticar?

Torçor e Resultante

Resolvendo uma questão sobre torçor

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

As direções de rotação dos eixos de entrada A e de saída B no redutor de engrenagens estão indicadas pelas setas curvadas tracejadas. Um torque de entrada (binário) de 80   N ⋅ m é aplicada ao eixo A na direção da rotação. O eixo de saída B fornece um torque de 320   N ⋅ m à máquina que ele controla (que não está mostrada). O eixo da máquina exerce um torque de reação igual e contrário no eixo de saída do redutor. a ) Determine a resultante M dos dois binários que atuam no redutor e b )   calcule o cosseno diretor de M em relação ao eixo x .

Passo 1

Temos dois binários na figura: um deles está na direção x e outro na direção y .

Porém, não sabemos o sentido dos vetores.

Vamos usar, então, a regra da mão direita pra saber o sentido de cada um.

Passo 2

Usando a regra:

Perceba que o momento no eixo x aponta no sentido negativo do eixo e que o momento no eixo y aponta no sentido negativo desse seu eixo. Sendo assim:

M → = - 320 i ^ - 80 j ^   N ⋅ m

Passo 3

Agora queremos achar o cosseno diretor de M → em relação ao eixo x . Vamos antes desenhar o vetor M → no plano x y , visto de cima:

Beleza! Agora vamos calcular o módulo do vetor M → :

M → = - 320 2 + - 80 2 = 329,8   N ⋅ m

Assim, o cosseno diretor é dado pelo cosseno do triângulo retângulo que o vetor M → faz com os eixos. Assim, podemos calcular ele assim:

cos ⁡ θ x = M x M → = - 320 329,8 = - 0,97

Resposta

a )   M → = - 320 i ^ - 80 j ^   N ⋅ m

b )   cos ⁡ θ x = - 0,97

Exercício Resolvido #2

Determine o sistema força-binário em O , que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo A O B . R é perpendicular a M 0 ? Nesse caso, determine as coordenadas no plano x z por onde passa resultante do sistema de forças.

Passo 1

Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo z .

Podemos definir a força de 600   N assim:

F → 600 = 600 s e n 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ = 300 j ^ + 519,6 k ^

Podemos definir a força de 800   N assim:

F → 800 = - 800 s e n 45 ° j ^ + 800 cos ⁡ 45 ° k ^ = - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

Assim, a força resultante é dada por:

R → = F → 600 + F → 800 = 300 j ^ + 519,6 k ^ + - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

R → = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^   N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto O :

Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo x . Então, vamos fazer o produto vetorial para cada força.

Para a força F → 600 , o vetor distância é:

r → 600 = - 80 i ^   m m = 0,08 i ^   m

Assim, o produto vetorial fica:

M → 600 = r → 600 × F → 600 = i ^ j ^ k ^ - 0,08 0 0 0 300 519,6

= i ^ 0 0 300 519,6 - j ^ - 0,08 0 0 519,6 + k ^ - 0,08 0 0 300

M → 600 = 41,57 j ^ - 24 k ^   N ⋅ m

Para a força F → 800 , o vetor distância é:

r → 800 = 160 i ^   m m = 0,16 i ^   m

Então, o produto vetorial fica:

M → 800 = r → 800 × F → 800 = i ^ j ^ k ^ 0,16 0 0 0 - 565,7 565,7

= i ^ 0 0 - 565,7 565,7 - j ^ 0,16 0 0 565,7 + k ^ 0,16 0 0 - 565,7

M → 800 = - 90,5 j ^ - 90,5 k ^   N ⋅ m

Assim, o momento total em relação ao ponto O :

M → o = M → 600 + M → 800

M → o = 41,57 j ^ - 24 k ^ - 90,5 j ^ - 90,5 k ^

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^   N ⋅ m  

Pronto, com a força resultante e esse momento, definimos o sistema força-binário equivalente em O .

Passo 3

Sendo:

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^   N

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^   N ⋅ m  

Vamos ver se os vetores são perpendiculares. Para isso, vamos efetuar o produto escalar:

R → ⋅ M → o = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^ . - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

R → ⋅ M → o = - 111,39 × 10 3 ≠ 0

Como o produto é diferente de zero, eles não são perpendiculares.

Assim, podemos representar a resultante por um conjunto torçor.

Vamos escrever a força resultante na forma:

R → = R → n →

R → = - 265.7 2 + 1085.3 2 = 1117,3   N

Assim:

R → = 1117,3 - 265,7 1117,3 i ^ + 1085,3 1117,3 j ^

R → = 1117,3 ( - 0,238 j ^ + 0,971 k ^ )

Passo 4

Queremos agora achar o ponto P onde a resultante pode ser representada, junto com o seu torçor:

P = x , 0 , z = r → p

Vamos usar, então, a relação:

M → o = M → p + r → p × R →

M → p é o momento do torçor e, portanto, tem a mesma direção que a força resultante:

M → p = M n → = M ( - 0,238 j ^ + 0,971 k ^ )

Passo 5

Vamos desenvolver r → p × R → :

r → p × R → = i ^ j ^   k ^ x 0 z 0 - 265,7 1085,3

= i ^ 0 z - 265,7 1085,3 - j ^ x z 0 1085,3 - k ^ x 0 0 - 265,7

r → p × R → = 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Passo 6

Resolvendo:

M → p + r → p × R → = ( - 0,238 M j ^ + 0,971 M k ^ ) + ( 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^ )

= 265,7 z i ^ + - 0,238 M - 1085,3 x j ^ + 0,971 M + 265,7 x k ^

Lembrando que isso é igual a M → o :

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

48,43 j ^ - 114,5 k ^ = 265,7 z i ^ + - 0,238 M - 1085,3 x j ^ + 0,971 M + 265,7 x k ^

Igualando termo a termo, vamos chegar nas seguintes equações:

0 = 265,7 z

48,3 = - 0,238 M - 1085,3 x

- 114,5 = 0,971 M + 265,7 x

Da primeira equação temos

z = 0

Da segunda podemos tirar que

1085,3 x = - 48,3 - 0,238 M → x = - 0,0445 - 0,000219 M

Substituindo na terceira

- 114,5 = 0,971 M + 265,7 x → - 114,5 = 0,971 M + 265,7 - 0,0445 - 0,000219 M

- 114,5 = 0,971 M - 11,824 - 0,05826 M

0,91274 M = - 102,676 → M = - 112,492   N . m

Substituindo esse valor de M na equação que tem x

x = - 0,0445 - 0,000219 M = - 0,0445 - 0,000219 - 112,492

x = - 0,0198 m

Assim:

P = - 0,0198 ; 0 ; 0   m

Resposta

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^   N

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^   N ⋅ m

P = - 0,0198 ; 0 ; 0   m

Exercício Resolvido #3

O avião de passageiros do Prob.2/68 está redesenhado aqui com informações tridimensionais. Se a turbina 3 falha subitamente, determine a resultante dos vetores de empuxo das três turbinas remanescentes, cada um tendo módulo de 90   k N . Especifique as coordenadas y   e   z do ponto pelo qual passa a linha de ação da resultante. Esta informação seria crítica para os critérios de projeto de desempenho sob falha de uma turbina.

Passo 1

O problema pode ser mais facilmente representado por:

Perceba que todas as forças têm coordenadas y , z . Sendo assim, a resultante também terá.

Além disso, veja que o eixo z aponta para baixo.

Passo 2

Todas as forças são paralelas ao eixo x . Assim, a resultante das forças é dada por:

R → = 90 i ^ + 90 i ^ + 90 i ^ = 270 i ^   k N

Passo 3

Agora vamos calcular o momento que cada força exerce no centro do avião. Vamos começar pelas forças da direita:

Turbina 1:

O seu vetor posição é:

r → 1 = x , y , z = 0 , - 21,2   m

Então, vamos fazer o produto vetorial para calcular o momento:

M → 1 = r → 1 × F → 1 = i ^ j ^ k ^ 0 - 21 2 90 0 0

= i ^ - 21 2 0 0 - j ^ 0 2 90 0 + k ^ 0 - 21 90 0

M → 1 = + 180 j ^ + 1890 k ^   k N ⋅ m

Turbina 2:

O vetor posição é:

r → 2 = x , y , z = 0 , - 12,3   m

Assim, o momento será dado por:

M → 2 = r → 2 × F → 2 = i ^ j ^ k ^ 0 - 12 3 90 0 0

= i ^ - 12 3 0 0 - j ^ 0 3 90 0 + k ^ 0 - 12 90 0

M → 2 = + 270 j ^ + 1080 k ^   k N ⋅ m

Turbina 4:

O seu vetor posição é:

r → 3 = x , y , z = 0,21,2   m

Perceba que agora o valor de y é positivo!

Assim, o momento será dado por:

M → 3 = r → 3 × F → 3 = i ^ j ^ k ^ 0 21 2 90 0 0

= i ^ 21 2 0 0 - j ^ 0 2 90 0 + k ^ 0 21 90 0

M → 3 = + 180 j ^ - 1890 k ^   k N ⋅ m

Passo 4

Pra calcular o momento resultante, vamos somar os três:

M → r e s = M → 1 + M → 2 + M → 3 = + 180 j ^ + 1890 k ^   + + 270 j ^ + 1080 k ^ + + 180 j ^ - 1890 k ^

M → r e s = 630 j ^ + 1080 k ^   k N ⋅ m

Passo 5

Agora vamos descobrir onde a resultante atua, ou seja, o ponto ( y , z ) onde ela está aplicada.

Para isso, vamos definir um vetor posição genérico dado por:

r → = y j ^ + z k ^

Primeiro vamos ver se o momento resultante é perpendicular à força resultante ou não:

M → r e s ⋅ R → = 0 i ^ + 630 j ^ + 1080 k ^ ⋅ 270 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ = 0 + 0 + 0

O produto termo a termo dá zero! Assim, podemos dizer que os vetores são perpendiculares.

Então vamos usar a igualdade:

r → × R → = M → r e s

Passo 6

Bora desenvolver o lado esquerdo da equação vista antes:

r → × R → = y j ^ + z k ^ × 270 i ^

= i ^ j ^ k ^ 0 y z 270 0 0 = i ^ y z 0 0 - j ^ 0 z 270 0 + k ^ 0 y 270 0

Desenvolvendo:

= 270 z j ^ - 270 y k ^

Show de bola. Agora só falta comparar com o momento resultante que já tínhamos calculado:

270 z j ^ - 270 y k ^ = M → r e s         →             270 z j ^ - 270 y k ^ = 630 j ^ + 1080 k ^

Comparando componente a componente, temos:

270 z = + 630 → z = + 2,33   m

E:

- 270 y = 1080 → y = - 4   m

Pronto!!!

Resposta

z = 2,33   m

y = - 4   m

Exercício Resolvido #4

Represente por uma força única R , em A , e por um momento M a resultante do sistema de forças atuando em um conjunto de tubos.

Passo 1

Primeiro vamos determinar a força resultante R → .

Eu sei que existem muitas forças ali o que torna o problema complicado... mas vamos começar descomplicando:

Olhe para as forças de 160   N da figura. Percebe que elas têm a mesma direção, mas sentidos contrários?

Isso quer dizer, meu amigo, que a soma delas dá zero. Então não vamos perder o nosso tempo escrevendo essas forças em termos de componente i ^ e j ^ .

Passo 2

Então sobraram as forças de 100   N ,   180   N   e   120   N .

Todas elas são paralelas a eixos. Então, olhando para a figura e para o sentido de cada uma:

R → = - 100 k ^ - 180 j ^ + 120 i ^ = 120 i ^ - 180 j ^ - 100 k ^   N

E é isso!!!

Passo 3

Agora vamos calcular a resultante dos momentos.

De novo em relação às forças de 160   N : elas formam um binário, assim o momento delas pode ser representado em qualquer ponto do sistema.

Vamos calcular o módulo do momento delas e definir a direção e sentido pela regra da mão direita:

M = F d = 160 150 + 100 . 10 - 3 = 40   N ⋅ m

Pela regra da mão direita:

O vetor pode ser escrito por:

M → 1 = 40 j ^   N ⋅ m

Passo 4

Vamos agora analisar a força de 180   N : opa, a linha de ação da força passa em cima do ponto A . Ou seja, o momento é nulo, pois não terá braço de alavanca:

M → 2 = 0 →

Falta analisar a força de 100   N e a de 120   N .

Passo 5

Vamos continuar calculando os momentos e definindo os sentidos usando a regra da mão direita:

Primeiro a força de 100   N :

M 3 = 100 . 300.10 - 3 = 30   N . m

Pela regra da mão direita:

M → 3 = 30 j ^   N ⋅ m

Passo 6

Fazendo a mesma coisa para a força de 120   N :

M 4 = 120 . 250.10 - 3 = 30   N ⋅ m

Portanto, o sentido é:

M → 4 = 30   j ^   N ⋅ m

Passo 7

Computamos todos os momentos? Nãaaao, faltou o momento de 50     N ⋅ m que já estava aplicado ali como um binário, logo acima do ponto A :

Viu né? Usando a regra da mão direita nele:

Então o vetor é:

M → 5 = 50   k ^   N ⋅ m

Assim, o momento resultante em relação ao ponto A é dado por:

M → A = 40 + 30 + 30 j ^ + 50 k ^

M → A = 100 j ^ + 50 k ^   N ⋅ m

Passo 8

Então, podemos representar o sistema todo no ponto A por uma força resultante e por um momento total, dados abaixo:

R → = 120 i ^ - 180 j ^ - 100 k ^   N

M → A = 100 j ^ + 50 k ^   N ⋅ m

Resposta

R → = 120 i ^ - 180 j ^ - 100 k ^   N

M → A = 100 j ^ + 50 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #5

Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. a )   Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto O . Mostre que R é perpendicular a M 0 . Em seguida, b ) determine o ponto no plano x z pelo qual passa a resultante.

Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular a resultante das duas forças:

F → r e s = 1600 j ^ + 800 j ^ = 2400 j ^   N

Se liga nisso: os eixos não estão nos lugares tradicionais. Nesse problema, o eixo vertical é o y .

Passo 2

Show de bola. Agora queremos reduzir o sistema a um sistema força-binário equivalente em O . Para isso, agora vamos calcular o momento de cada força em relação a O .

Veja, antes, disso, que as distâncias dos pontos de aplicação das forças até o ponto O , são, respectivamente:

r → 800 = 2,4 i ^   m

r → 16 00 = 2,4 i ^ - 0,9 k ^   m

Passo 3

Assim, o momento de cada força será dado por:

M → 800 = 2,4 i ^ × 800 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 0 0 800 0

M → 800 = i ^ 0 0 800 0 - j ^ 2,4 0 0 0 + k ^ 2,4 0 0 800

M → 800 = 2,4 800 k ^ = 1920   k ^   N ⋅ m

M → 1600 = 2,4 i ^ - 0,9 k ^ × 1600 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 - 0,9 0 1600 0

M → 1600 = i ^ 0 - 0,9 1600 0 - j ^ 2,4 - 0,9 0 0 + k ^ 2,4 0 0 1600

M → 1600 = 1440 i ^ + 3840 k ^   N ⋅ m

Passo 4

Somando os momentos:

M → r e s = M → O = M → 800 + M → 1600

M → O = 1920   k ^ + 1440 i ^ + 3840 k ^   = 1440 i ^ + 5760 k ^   N ⋅ m

Pronto, podemos dizer que o sistema força-binário resultante em relação ao ponto O pode ser definido por:

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N ⋅ m

F → r e s = 2400 j ^   N

Agora vamos ver se a força resultante é perpendicular ao momento:

Como fazemos isso? Simples, lembra que o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo? Faremos esse produto então:

F → r e s ⋅ M → r e s = 2400 j ^ ⋅ ( 1440 i ^ + 5760 k ^ )

Escrevendo os vetores com todas as componentes (as que são zero também):

0 i ^ + 2400 j ^ + 0 k ^ ⋅ 1440 i ^ + 0 j ^ + 5760 k ^ = 0

É isso! Então, os vetores são perpendiculares sim.

Passo 5

Beleza! Agora queremos saber a localização da resultante: para isso, queremos saber o vetor posição r → em relação ao ponto O .

Nós não sabemos quais são as suas componentes, mas sabemos que ela deve estar no plano x z , o plano horizontal desse problema. Como sabemos? Por duas fontes do enunciado:

Primeiro: todas as forças atuam em pontos do plano x - z .

Segundo: o enunciado te pede pra achar a posição da resultante nesse plano.

Show? Então podemos escrever o vetor r → assim:

r → = x i ^ + z k ^

Queremos achar x   e z .

Passo 6

Para isso, vamos usar a igualdade:

r → × F → r e s = M → r e s

Podemos usar essa igualdade sem envolver um torçor, porque a resultante é perpendicular ao momento.

Temos o momento resultante e a força resultante.

Assim:

x i ^ + z k ^ × 2400 j ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^  

Resolvendo o lado esquerdo:

x i ^ + z k ^ × 2400 j ^ = i ^ j ^ k ^ x 0 z 0 2400 0

= i ^ 0 z 2400 0 - j ^ x z 0 0 + k ^ x 0 0 2400

= - 2400 z i ^ + 2400 x k ^

Agora, igualando com o valor do momento resultante:

- 2400 z i ^ + 2400 x k ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^

Perceba que temos que comparar i ^ com i ^ e k ^ com k ^ . Assim:

- 2400 z = 1440 → z = - 0,6 m

2400 x = 5760 → x = 2,4 m

Assim, o ponto ( x , z ) por onde passa a resultante é:

x , z = 2.4 , - 0.6   m

Resposta

a )

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N ⋅ m

F → r e s = 2400 j ^   N

b )

x , z = 2.4 ; - 0.6 m

Exercício Resolvido #6

Durante uma perfuração, o pequeno dispositivo robótico é submetido a uma força de 800   N no ponto C , como mostrado. Substitua esta força por um sistema força-binário equivalente no ponto O .

Passo 1

Vamos começar a questão escrevendo a força de 800   N em termos de vetores i ^ ,   j ^   e k ^ , ou seja, em componentes x ,   y   e   z :

F → = F → x + F → y + F → k

Primeiro perceba que a componente z é a mais fácil de encontrar. Na figura dá pra ver que a força de 800   N faz um ângulo de 30 ° com o eixo z .

Então, vamos ficar com isso aqui para a componente z :

F → z = 800 cos ⁡ 30 ° k ^

Passo 2

Para achar as componentes x e y , primeiro perceba que a componente no plano horizontal da força é dada por:

F → h = 800 s e n ( 30 ° )

Agora precisamos decompor essa força novamente em relação ao ângulo de 20 ° e, então, conseguiremos as componentes que queríamos:

F → x = - 800 s e n 30 ° cos ⁡ 20 ° i ^

F → y = 800 s e n 30 ° s e n 20 ° j ^

Assim:

F → = - 800 s e n 30 ° cos ⁡ 20 ° i ^ + 800 s e n 30 ° s e n 20 ° j ^ + 800 cos ⁡ 30 ° k ^

F → = - 376 i ^ + 136,8 j ^ + 693 k ^   N

Passo 3

Agora vamos achar o vetor r → O B , ou seja, o vetor distância entre o ponto B e a origem.

Vamos primeiro olhar a distância vertical: Fica claro que ela é dada por:

r → O B Z = 0,25 k ^   m

Pra achar as componentes x e y , basta percebermos que essas são projeções do segmento A B :

r → O B x = 0,3 sen ⁡ 20 ° i ^

r → O B y = 0,3 cos ⁡ 20 ° j ^

Assim:

r → O B = 0,3 s e n 20 ° i ^ + 0,3 cos ⁡ 20 ° j ^ + 0,25 k ^   m

Show de bola? Estamos prontos pra usar:

M → = r → O B × F →

Passo 4

Então:

M → = r → O B × F → = i ^ j ^ k ^ 0,3 s e n ( 20 ° ) 0,3 c o s ⁡ ( 20 ° ) 0,25 - 376 136,8 693

M → = i ^ 0,3 c o s ⁡ ( 20 ° ) 0,25 136,8 693 - j ^ 0,3 s e n 20 ° 0,25 - 376 693 + k ^ 0,3 s e n ( 20 ° ) 0,3 c o s ⁡ ( 20 ° ) - 376 136,8

Efetuando os determinantes:

M → = 161.1 i ^ - 165.1 j ^ + 120 k ^   N ⋅ m

Passo 5

Show de bola! Então podemos dizer que o sistema de forças pode ser representado por um sistema força-binário equivalente dado pelos vetores:

F → = - 376 i ^ + 136,8 j ^ + 693 k ^   N

M → = 161.1 i ^ - 165.1 j ^ + 120 k ^   N ⋅ m

Resposta

F → = - 376 i ^ + 136,8 j ^ + 693 k ^   N

M → = 161.1 i ^ - 165.1 j ^ + 120 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #7

Um computador de 25   k g e uma impressora a laser de 10   k g estão sobre o tampo horizontal de uma mesa. Determine a resultante do sistema dos dois pesos correspondentes e especifique as coordenadas do ponto P , no plano x y , pelo qual passa a resultante. Os dois pesos atuam nos pontos G 1   e   G 2 .

Passo 1

Beleza, pra calcular a resultante, perceba que ambas as forças são pesos, então apontam na direção negativa de z :

P → r e s = P → 1 + P → 2

P → 2 = - m g k ^ = - 10.10 k ^ = - 100 k ^   N

P → 1 = - 25.10 k ^ = - 250 k ^   N

Então, a força peso resultante é:

P → r e s = - 350 k ^   N

Passo 2

Agora vamos calcular a resultante dos momentos em relação ao ponto O :

M → r e s = M → 1 + M → 2

Para isso, vamos antes calcular o vetor r → de cada um:

Temos que r → 2 é o vetor que vai da origem dos eixos até o ponto A :

r → 2 = x , y , z = 300,500,0 . 10 - 3 m = 0,3 i ^ + 0,5 j ^   m

E temos que r → 1 é o vetor que vai da origem dos eixos até o ponto B :

r → 1   = x , y , z = 600,1200,0 . 10 - 3 m = 0,6 i ^ + 1,2 j ^   m

Passo 3

Então:

M → 1 = r → 1   × P → 1 = i ^ j ^ k ^ 0,6 1,2 0 0 0 - 250

M → 1 = i ^ 1,2 0 0 - 250 - j ^ 0,6 0 0 - 250 + k ^ 0,6 1,2 0 0

M → 1 = - 300 i ^ + 150 j ^   N ⋅ m

E para achar M → 2 , temos:

M → 2 = r → 2   × P → 2 = i ^ j ^ k ^ 0,3 0,5 0 0 0 - 100

M → 2 = i ^ 0,5 0 0 - 100 - j ^ 0,3 0 0 - 100 + k ^ 0,3 0,5 0 0

M → 2 = - 50 i ^ + 30 j ^   N ⋅ m

Então, o momento resultante é:

M → r e s = M → 1 + M → 2

M → r e s = - 300 i ^ + 150 j ^ + - 50 i ^ + 30 j ^

M → r e s = - 350 i ^ + 180 j ^   N ⋅ m

Passo 4

Para achar o ponto em que passa a resultante das duas forças, vamos ter que achar o vetor r → tal que:

r → × P → r e s = M → r e s

Por que podemos usar essa relação ao invés da relação que apresenta o vetor momento do torçor? Porque ele é nulo, já que a resultante é perpendicular ao momento resultante:

M → r e s ⋅ P → r e s = - 350 i ^ + 180 j ^ ⋅ - 350 k ^ = 0 + 0 + 0 = 0

Nós não sabemos as coordenadas que definem r → , mas sabemos que ela tem componentes apenas x   e   y porque, afinal de contas, todas as forças só atuam no plano x y .

Assim:

r → = x , y , 0 = x i ^ + y j ^

Vamos desenvolver o produto r → × P → r e s usando essas incógnitas.

Passo 5

r → × P → r e s = i ^ j ^ k ^ x y 0 0 0 - 350

= i ^ y 0 0 - 350 - j ^ x 0 0 - 350 + k ^ x y 0 0

M → r e s = - 350 y i ^ + 350 x j ^   N ⋅ m

Passo 6

Agora, comparando com o momento resultante que tínhamos achado antes:

- 350 y i ^ + 350 x j ^ = - 350 i ^ + 180 j ^

Igualando componente a componente:

- 350 y = - 350 → y = 1   m = 1000   m m

E:

350 x = 180 → x = 0,514   m = 5 1 4   m m

Assim, o ponto ( x , y ) onde passa a resultante é:

P = 5 1 4,1000 m m

Resposta

P = 5 1 4,1000   m m

Exercício Resolvido #8

Três binários são formadas por três pares de forças iguais e opostas. Determine a resultante M dos três binários.

Passo 1

Beleza, vamos começar identificando cada binário.

O primeiro é esse aqui:

O segundo é:

E o terceiro é esse aqui:

Passo 2

Antes de começarmos a calcular, vamos lembrar de uma coisa: o momento dos binários é o mesmo em qualquer ponto do sistema.

E é por isso que podemos calcular o momento deles só multiplicando o valor da força pela distância entre eles:

M = F d

É importante notar que essa distância é a distância perpendicular entre os vetores.

E pra achar a direção e o sentido? Bom, aí vamos usar a regra da mão direita. Bora lá.

Passo 3

Vamos começar pelo mais simples, o primeiro binário. Então, o valor do momento é dado por:

M 1 = 100 . 0,2 = 20   N ⋅ m

As forças de 100 N são paralelas ao eixo z . Assim, pela regra da mão direita:

Então:

M → 1 = - 20 i ^   N ⋅ m

Passo 4

Vamos fazer agora o terceiro binário.

Nesse aqui temos uma complicação: não temos a distância perpendicular entre as forças. Precisamos usar um pouquinho de trigonometria:

Assim:

Então, a distância perpendicular entre as forças, em metros, é dada por:

d = 0,3 s e n 45 °

E o momento do binário:

M = F d = 120 . 0,3 s e n 45 ° = 25,5   N ⋅ m

A figura não deixou claro o sentido positivo de z , então vamos arbitrar esse aqui:

Agora, usando a regra da mão direita:

Então, o vetor pode ser dado por:

M → 3 = 25,5 k ^   N ⋅ m

Passo 5

O segundo binário vai ser mais difícil um cadinho. Veja só: o binário não têm distâncias perpendiculares aos vetores e o plano de giro deles não é ortogonal.

Primeiro vamos lidar com as distâncias:

Assim, a distância perpendicular entre as forças vale:

d = 0,18 cos ⁡ 20 °

Então, o momento tem módulo:

M 2 = 80 . ( 0 , 180 cos ⁡ 20 ° )

Antes de calcular, vamos determinar a direção.

Passo 6

A direção a gente determina pela regra da mão direita, mas o plano onde estão as forças não é ortogonal. O que sabemos, no entanto, é que o vetor momento vai ser perpendicular a esse plano:

Para saber o vetor direitinho, basta a gente perceber que o plano acima faz um ângulo de 30 ° com o plano x y :

Assim, podemos dizer que o vetor n → que aponta na direção do vetor momento é dado por:

n → = - cos ⁡ 60 j ^ + s e n 60 k ^

Por fim, podemos escrever o momento como:

M → 2 = M 2 n →

M → 2 = 80 . 180 cos ⁡ 20 ° . 10 - 3 - cos ⁡ 60 j ^ + s e n 60 k ^

Fazendo as contas:

M → 2 = - 6.77 j ^ + 11.72 k ^   N ⋅ m

Passo 7

A soma dos momentos será, então:

M → = M → 1 + M → 2 + M → 3

M → = - 20 i ^ + - 6.77 j ^ + 11.72 k ^ + 25,5 k ^   = - 20 i ^ - 6.77 j ^ + 37.2 k ^

M → = - 20 i ^ - 6.77 j ^ + 37.2 k ^   N ⋅ m

Resposta

M → = - 20 i ^ - 6.77 j ^ + 37.2 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #9

Ao apertar um parafuso cujo centro está no ponto O , uma pessoa exerce, com a mão direita, uma força de 180   N no manete da chave da chave da catraca. Além disso, com a mão esquerda exerce uma força de 90   N , como mostrado, para manter o soquete na cabeça do parafuso. a ) Determine o sistema força-binário equivalente em O . b )   Determine, então, o ponto no plano x y pelo qual passa a linha de ação da força resultante do torçor.

Passo 1

Primeiro vamos escrever a força resultante: perceba que ambas as forças estão indo no sentido negativo de seus respectivos eixos:

R → = - 90 j ^ - 180 k ^   N

Calculando o módulo de R → , vamos ter que:

R → = - 90 2 + - 180 2 = 201,25   N

Com esses valores, podemos achar o vetor unitário na direção da força resultante:

n → = R → R →             →           n → = - 90 201,25 j ^ - 180 201,25 k ^

Então:

n → = - 0,447 j ^ - 0,894 k ^

Agora podemos escrever a força assim:

R → = R → n → = 201,25 - 90 201,25 j ^ - 180 201,25 k ^

R → = R → n → = 201,25 . - 0,447 j ^ - 0,894 k ^

Passo 2

Para calcular M → O , perceba que só uma das forças exerce momento em relação ao ponto O . A linha de ação da força de 90   N passa diretamente por O , então não tem braço de alavanca.

Assim:

M → O = M → 180

Onde:

r → = - 200 i ^ + 35 j ^ . 10 - 3   m

r → = - 0,2 i ^ + 0,035 j ^   m

Então, o momento será:

M → 180 = r → × - 180 k ^ = i ^ j ^ k ^ - 0,2 0,035 0 0 0 - 180

M → 180 = i ^ 0,035 0 0 - 180 - j ^ - 0,2 0 0 - 180 + k ^ - 0,2 0,035 0 0

M → 180 = - 6,3 i ^ - 36 j ^ = M → O

Passo 3

Agora vamos usar:

M → O = M → + r → P O × R →

Queremos achar M → e r → P O . Mas sabemos que vetor distância está no plano x y , então:

r → P O = x i ^ + y j ^

Passo 4

Resolvendo r → P O × R → :

r → P O × R → = i ^ j ^ k ^ x y 0 0 - 90 - 180

r → P O × R → = i ^ y 0 - 90 - 180 - j ^ x 0 0 - 180 + k ^ x y 0 - 90

r → P O × R → = - 180 y i ^ + 180 x j ^ - 90 x k ^  

E M → terá a mesma direção da força resultante, então:

M → = M n → = M - 0,447 j ^ - 0,894 k ^

M → = - 0,447 M j ^ - 0,894 M k ^

Passo 5

Então, vamos substituir tudo que achamos:

M → + r → P O × R → = - 0,447 M j ^ - 0,894 M k ^ + - 180 y i ^ + 180 x j ^ - 90 x k ^

∴  

M → + r → P O × R → = - 180 y i ^ + 180 x - 0,447 M j ^ + - 0,894 M - 90 x k ^

Mas tudo isso é igual a M → O , né? Então:

- 6,3 i ^ - 36 j ^ = - 180 y i ^ + 180 x - 0,447 M j ^ + - 0,894 M - 90 x k ^

Então, vamos igualar os termos de mesma componente e obter as seguintes equações:

- 6,3 = - 180 y

- 36 = 180 x - 0,447 M

0 = - 0,894 M - 90 x

Da primeira equa�o temos que:

y = 0,035   m

Da terceira equação temos:

- 0,894 M - 90 x = 0           →           M = - 90 0,894 x

M = - 100,7 x

Jogando o valor de M   que encontramos na segunda equação, vamos ficar com isso aqui:

- 36 = 180 x - 0,447 - 100,7 x     →   - 36 = 180 x - 0,447 - 100,7 x

36 = 225 x         →           x = 0,16   m

Assim, o módulo de M é dado por:

M = - 100,7 0,16 = - 16,11   N ⋅ m

E para acharmos o vetor M → , é só multiplicarmos pelo vetor unitário:

M → = - 16,11 - 0,447 j ^ - 0,894 k ^   N ⋅ m

E o ponto :

P = x , y = 0.16 ; 0.035   m

Resposta

a )

  R → = - 90 j ^ - 180 k ^   N  

M → O = - 6,3 i ^ - 36 j ^   N ⋅ m

b )

P = x , y = 0.16 0 ; 0.035   m

Exercício Resolvido #10

Substitua as três forças que atuam na placa por um torçor. Especifique os vetores força e momento torçor, suas intensidades e o ponto P ( x , y ) onde sua linha de ação intercepta a placa.

Passo 1

Vamos considerar o ponto A como a origem do sistema de coordenadas.

Calculando a força resultante, temos:

R → = 500 i ^ + 300 j ^ + 800 k ^   N

Podemos escrever a força R → assim:

R → = R → n →

Onde:

R → = 500 2 + 300 2 + 800 2 = 989,9   N

Assim:

R → = 989,9 . 500 989,9 i ^ + 300 989,9 j ^ + 800 989,9 k ^

R → = 989,9 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N

Passo 2

Vamos calcular o momento que cada força exerce em relação ao ponto A :

F → 500 = 500 i ^   N

O desta força é momento nulo, já que a sua linha de ação cruza o ponto A :

M → 500 = 0

Já a outra força:

F → 800 = 800 k ^   N

Ela possui o seguinte vetor posição:

r → 800 = 4 j ^   m

Assim:

M → 800 = r → 800 × F → 800 = i ^ j ^ k ^ 0 4 0 0 0 800

= i ^ 4 0 0 800 - j ^ 0 0 0 800 + k ^ 0 4 0 0

M → 800 = 3200 i ^   N ⋅ m

E a força:

F → 300 = 300 j ^   N

Possui o vetor posição igual a :

r → 300 = 6 i ^ + 4 j ^   m

Assim:

M → 300 = r → 300 × F → 300 = i ^ j ^ k ^ 6 4 0 0 300 0

= i ^ 4 0 300 0 - j ^ 6 0 0 0 + k ^ 6 4 0 300

M → 300 = 1800 k ^   N ⋅ m

Passo 3

Assim:

M → 0 = 3200 i ^ + 1800 k ^   N ⋅ m

R → = 500 i ^ + 300 j ^ + 800 k ^   N

É o sistema força-binário que representa o sistema. Vamos calcular o produto escalar entre os dois vetores acima pra ver se eles são perpendiculares:

R → ⋅ M → 0 = 3200 i ^ + 1800 k ^ . 500 i ^ + 300 j ^ + 800 k ^

R → ⋅ M → 0 = 3200 ( 500 ) + 0 + 1800 ( 800 ) ≠ 0

Como é diferente de zero, os vetores não são perpendiculares.

Passo 4

Assim, queremos achar o ponto r → P = ( x , y , 0 ) onde atua o torçor. Para isso, vamos usar a relação:

M → 0 = M → P + r → P × R →

Onde M → P   tem a mesma direção que R → :

M → P = M P n →

M → P = M P ( 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^ )

Passo 5

Vamos desenvolver o produto r → P × R →

r → P × R → = i ^ j ^ k ^ x y 0 500 300 800

= i ^ y 0 300 800 - j ^ x 0 500 800 + k ^ x y 500 300

= 800 y i ^ - 800 x j ^ + 300 x - 500 y k ^

Assim, fazendo a soma disso com M → P :

M → P + r → P × R → = M P 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^ + 800 y i ^ - 800 x j ^ + 300 x - 500 y k ^

= 0,5 M P + 800 y i ^ + 0,3 M P - 800 x j ^ + 0,8 M P + 300 x - 500 y k ^

Isso tudo igual ao M → 0 :

M → 0 = 3200 i ^ + 1800 k ^   N ⋅ m

Passo 6

Assim, igualando termo a termo:

0,5 M P + 800 y = 3200

0,3 M P - 800 x = 0

0,8 M P + 300 x - 500 y = 1800

Da segunda equação, temos que:

M P = 2666,7 x

Substituindo na primeira e na terceira equação:

1333,3 x + 800 y = 3200

2133,3 x + 300 x - 500 y = 1800

2433,3 x - 500 y = 1800

Passo 7

Temos esse sistema aqui:

1333,3 x + 800 y = 3200

2433,3 x - 500 y = 1800

Multiplicando a primeira equação por 500 800 :

833,3 x + 500 y = 2000

Somando com a segunda:

3266,6 x = 3800 → x = 1,16   m

Substituindo isso na primeira equação:

1333,3 1,16 + 800 y = 3200 → y = 2,07   m

Substituindo x em:

M p = 2666,7 x = 3093,4

Passo 8

Por fim, podemos dizer que o torçor pode ser escrito por:

M → = 3093,4 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N ⋅ m

R → = 989,9 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N

E que o ponto em que a linha de ação do mesmo cruza o plano x y é:

P = 1,16 ; 2,07   m  

Resposta

M → = 3093,4 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N ⋅ m

R → = 989,9 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N

P = 1,16 ; 2,07   m

Exercício Resolvido #11

A ação combinada das três forças sobre a base em O pode ser obtida estabelecendo sua resultante passando por O . Determine os módulos de R e do momento M   associado.

Passo 1

Em outras palavras, o que o problema está te pedindo e o sistema força binário em O .

Vamos, primeiro, calcular a resultante das forças:

R →

Temos uma força de 4   k N que atua apenas na direção y , uma força de 6   k N que atua apenas na direção z e uma de 5   k N que atua no plano x z .

Olhando o sentido positivo dos eixos na figura e escrevendo as forças em termos de vetores i ^ , j ^   e   k ^ :

R → = 4 j ^ - 6 k ^ + 5 cos ⁡ 45 ° i ^ - 5 s e n 45 ° k ^ = 3,53 i ^ + 4 j ^ - 9,53 k ^

Assim, o módulo de R → é dado por:

R → = 3,53 2 + 4 2 + - 9,53 2 = 10,9   k N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento de cada uma das forças. Para isso, vamos ter que definir cada força e o vetor r → O , ou seja, o vetor distância até O .

Vamos começar pela força de 5   k N . Vamos chamá-la de F → 1 :

F → 1 = 5 cos ⁡ 45 ° i ^ - 5 s e n 45 ° k ^ = 3.53,0 , - 3.53   k N

O vetor r → 1 O é dado por:

r → 1 O = 2,4 i ^ - 1,2 j ^ + 2,8 k ^   m

A gente não precisa ficar subtraindo um ponto do outro sempre, já que O é a origem. Basta a gente pegar o ponto de aplicação da força.

Perceba: tem um semicírculo ali no meio da figura, por isso que a distância em x é:

2 1,2 = 2,4   m

Assim, o momento será dado por:

M → 1 = r → 1 O × F → 1 = i ^ j ^ k ^ 2,4 - 1,2 2,8 3,53 0 - 3,53

M → 1 = i ^ - 1,2 2,8 0 - 3,53 - j ^ 2,4 2,8 3,53 - 3,53 + k ^ 2,4 - 1,2 3,53 0

M → 1 = 4,2 i ^ + 18,4 j ^ + 4,2 k ^   k N ⋅ m

Passo 3

Agora vamos lidar com a força de 6   k N . Ela é bem simples de ser definida, já que está apenas na direção z :

F → 2 = - 6 k ^ = 0,0 , - 6

E o vetor r → 2 O ? Ele é bem parecido com o da força anterior, o que muda é a coordenada y :

r → 2 O = 2,4 i ^ + 1,2 j ^ + 2,8 k ^   m

Assim, o momento é dado por:

M → 2 = r → 2 O × F → 2 = i ^ j ^ k ^ 2,4 1,2 2,8 0 0 - 6

M → 2 = i ^ 1,2 2,8 0 - 6 - j ^ 2,4 2,8 0 - 6 + k ^ 2,4 1,2 0 0

Calculando isso aí:

M → 2 = - 7.2 i ^ + 14.4 j ^   k N ⋅ m

Passo 4

E por fim a última força, que pode ser definida facilmente também, essa por:

F → 3 = 4 j ^ = 0,4 , 0

E o vetor posição? Esse será dado por:

r → 3 O = 1.2,0 , 1.2 + 2.8 = 1.2,04

Assim o momento será dado por:

M → 3 = r → 3 O × F → 3 = i ^ j ^ k ^ 1.2 0 4 0 4 0

M → 3 = i ^ 0 4 4 0 - j ^ 1.2 4 0 0 + k ^ 1.2 0 0 4

Calculando:

M → 3 = - 16 i ^ + 4.8 k ^   k N ⋅ m

Passo 5

Show agora é só somar todos os momentos:

M → r e s = M → 1 + M → 2 + M → 3

M → r e s = 4.2 i ^ + 18.4 j ^ + 4.2 k ^   + - 7.2 i ^ + 14.4 j ^ + - 16 i ^ + 4.8 k ^

M → r e s = - 19 i ^ + 32.8 j ^ + 9 k ^   k N ⋅ m

Passo 6

Então podemos dizer que nosso sistema força-binário equivalente no ponto O é representado pela força e pelos vetores abaixo:

R → = 3,53 i ^ + 4 j ^ - 9,53 k ^   k N

M → r e s = - 19 i ^ + 32.8 j ^ + 9 k ^   k N ⋅ m

Resposta

R → = 3,53 i ^ + 4 j ^ - 9,53 k ^   k N

R → = 10,9   k N

M → r e s = - 19 i ^ + 32.8 j ^ + 9 k ^   k N ⋅ m

Exercício Resolvido #12

Determine o sistema força-binário em O , que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo A O B . R é perpendicular a M 0 ? Nesse caso, determine as coordenadas no plano x - z por onde passa resultante do sistema de forças.

Passo 1

Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo z .

Podemos definir a força de 600 N assim:

F 600 → = 600 s e n 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ = 300 j ^ + 519,6 k ^

Podemos definir a força de 800 N assim:

F 800 → = - 800 s e n 45 ° + 800 cos ⁡ 45 ° k ^ = - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

Assim, a força resultante é dada por:

R → = F 600 → + F 800 → = 300 j ^ + 519,6 k ^ + - 565,7 j ^ + 565,7 k ^ = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^

Passo 2

Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto O :

Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo x :

F 600 → :

r 600 → = - 80 m m i ^ = - 0,08 i ^

Assim:

M 600 → = r 600 → x F 600 → = i ^ j ^ k ^ - 0,08 0 0 0 300 519,6

= i ^ 0 0 300 519,6 - j ^ - 0,08 0 0 519,6 + k ^ - 0,08 0 0 300

= 41,57 j ^ - 24 k ^

F 800 → :

r 800 → = 160 m m i ^ = 0,16 i ^

Assim:

M 800 → r 800 → x F 800 → = i ^ j ^ k ^ 0,16 0 0 0 - 565,7 565,7

= i ^ 0 0 - 565,7 565,7 - j ^ 0,16 0 0 565,7 + k ^ 0,16 0 0 - 565,7

= - 90,5 j ^ - 90,5 k ^

Assim, o momento total em relação ao ponto O :

M o → = M 600 → + M 800 →

M o → = 41,57 j ^ - 24 k ^ - 90,5 j ^ - 90,5 k ^

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

Pronto, com a força resultante e esse momento, definimos o sistema força-binário equivalente em O .

Passo 3

Sendo:

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

Vamos ver se os vetores são perpendiculares. Para isso, vamos efetuar o produto escalar:

R → . M o → = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^ . - 48,43 j ^ - 114,5 k ^ = - 111,39 ≠ 0

Como o produto é diferente de zero, eles não são perpendiculares.

Assim, podemos representar a resultante por um conjunto torçor.

Vamos escrever a força resultante na forma:

R → = R → n →

R → = - 265.7 2 + 1085.3 2 = 1117,3

Assim:

R → = 1117,3 . - 265,7 1117,3 i ^ + 1085,3 1117,3 j ^

R → = 1117,3 . ( - 0,238 i ^ + 0,971 j ^ )

Passo 4

Queremos agora achar o ponto P onde a resultante pode ser representada, junto com o seu torçor:

P = x , 0 , z = r p →

Vamos usar, então, a relação:

M o → = M p → + r p → x R →

M p → é o momento do torçor e , portanto, tem a mesma direção eu a força resultante:

M p → = M n → = M ( - 0,238 i ^ + 0,971 j ^ )

Passo 5

Vamos desenvolver r p → x R → :

r p → x R → = i ^ j ^   k ^ x 0 z 0 - 265,7 1085,3

= i ^ 0 z - 265,7 1085,3 - j ^ x z 0 1085,3 - k ^ x 0 0 - 265,7

= 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Passo 6

Desenvolvendo:

M p → + r p → x R → = ( - 0,238 M i ^ + 0,971 M j ^ ) + ( 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^ )

= - 0,238 M + 265,7 z i ^ + 0,971 M - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Lembrando que isso é igual a M o → :

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

48,43 j ^ - 114,5 k ^ = - 0,238 M + 265,7 z i ^ + 0,971 M - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Igualando termo a termo, vamos chegar nas seguintes equações:

0 = - 0,238 M + 265,7 z

48,3 = 0,971 M - 1085,3 x

- 114,5 = 265,7 x

Da última equação temos:

x = - 114,5 265,7 = - 0,43 m

Jogando na segunda equação:

48,3 = ( 0,971 M - 1085,3 ( - 0,43 ) → M = - 430,87

E na primeira equação:

0 = - 0,238 M + 265,7 z

265,7 z = 0,238 M

z = 0,238 M 265,7 = 0,385 m

Assim:

P = - 0,43 ; 0 ; 0,385 m

Resposta

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

P = - 0,43 ; 0 ; 0,385 m

Exercício Resolvido #13

Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto O . Mostre que R é perpendicular a M 0 . Em seguida, determine o ponto no plano x - z pelo qual passa a resultante.

Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular a resultante das duas forças:

F r e s → = 1600 j ^ + 800 j ^ = 2400 j ^   N

Se liga nisso: os eixos não estão nos lugares tradicionais. Nesse problema, o eixo vertical é o y .

Passo 2

Show de bola. Agora queremos reduzir o sistema a um sistema força-binário equivalente em O . Para isso, agora vamos calcular o momento de cada força em relação a O .

Veja, antes, disso, que as distâncias dos pontos de aplicação das forças até o ponto O , são, respectivamente:

r 800 → = 2,4 i ^

r 1600 → = 2,4 i ^ - 0,9 k ^

Passo 3

Assim, o momento de cada força será dado por:

M 800 → = 2,4 i ^ x 800 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 0 0 800 0 = i ^ 0 0 800 0 - j ^ 2,4 0 0 0 + k ^ 2,4 0 0 800

M 800 → = 2,4.800 k ^ = 1920   k ^   N . m

M 1600 → = 2,4 i ^ - 0,9 k ^ x 1600 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 - 0,9 0 1600 0

M 1600 →   = i ^ 0 - 0,9 1600 0 - j ^ 2,4 - 0,9 0 0 + k ^ 2,4 0 0 1600

M 1600 → = 1440 i ^ + 3840 k ^   N . m

Passo 4

Somando os momentos:

M r e s → = M o → = M 800 → + M 1600 → = 1920   k ^ + 1440 i ^ + 3840 k ^   = 1440 i ^ + 5760 k ^

Pronto, podemos dizer que o sistema força-binário resultante em relação ao ponto O pode ser definido por:

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N . m

F r e s → = 2400 j ^   N

Agora vamos ver se a força resultante é perpendicular ao momento:

Como fazemos isso? Simples, lembra que o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo? Faremos esse produto então:

F → r e s . M r e s → = 2400 j ^ . ( 1440 i ^ + 5760 k ^ )

Escrevendo os vetores com todas as componentes ( as que são zero também):

0 i ^ + 2400 j ^ + 0 k ^ . 1440 i ^ + 0 j ^ + 5760 k ^ = 0

É isso! Então, os vetores são perpendiculares sim.

Passo 5

Beleza. Agora queremos saber a localização da resultante: Para isso, queremos saber o vetor posição r → em relação ao ponto O .

Nós não sabemos quais são as suas componentes, mas sabemos que ela deve estar no plano x - z , o plano horizontal desse problema. Como sabemos? Por duas fontes do enunciado:

Primeiro: todas as forças atuam em pontos do plano x - z .

Segundo: O enunciado te pede pra achar a posição da resultante nesse plano.

Show? Então podemos escrever o vetor r → assim:

r → = x i ^ + z k ^

Queremos achar x   e   z .

Passo 6

Pra isso, vamos usar a igualdade:

r → x F r e s = M r e s →

Podemos usar essa igualdade, sem envolver um torçor, porque a resultante é perpendicular ao momento.

Temos o momento resultante e a força resultante.

Assim:

x i ^ + z k ^ x 2400 j ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^  

Desenvolvendo o lado esquerdo:

x i ^ + z k ^ x 2400 j ^ = i ^ j ^ k ^ x 0 z 0 2400 0

= i ^ 0 z 2400 0 - j ^ x z 0 0 + k ^ x 0 0 2400

= - 2400 z i ^ + 2400 x k ^

Agora, comparando com o valor do momento resultante:

- 2400 z i ^ + 2400 x k ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^

Perceba: temos que comparar i ^ com i ^ e k ^ com k ^ . Assim:

- 2400 z = 1440 → z = - 0,6 m

2400 x = 5760 → x = 2,4 m

Assim, o ponto ( x , z ) por onde passa a resultante é:

x , z = 2.4 , - 0.6 m

Resposta

Sistema força-binário:

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N . m

F r e s → = 2400 j ^   N

A posição x , z da resultante:

x , z = 2.4 , - 0.6 m

Exercício Resolvido #14

Substitua as duas forças atuando na moldura por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto P no plano y - z pelo qual passa a linha de ação do torçor. Observe que a força de módulo F é paralela ao eixo x .

Passo 1

Primeiro, vamos escrevera resultante das forças:

R → = F 1 → + F 2 →

F 1 → = - 3 F k ^

F 2 → = F i ^

Assim:

R → = F i ^ - 3 F k ^

Escrevendo na forma

R → = R → n →

Então:

R → = F 2 + 3 F 2 = 10 F

Assim:

E

n → = R → R → = F 10 F   i ^ - 3 F 10 F k ^ = ( 1 10 i ^ - 3 10 k ^ )

Então:

R → = 10 F . 1 10 i ^ - 3 10 k ^

Passo 2

Vamos agora calcular o momento M 0 → resultante das forças em relação a O . Pra isso, vamos calcular o momento de cada força e depois somar.

Para a força F 1 → = - 3 F k ^ :

r 1 → = 2 a k ^

Como você pode ver, o vetor r → é paralelo ao vetor força, assim, o produto abaixo é nulo e por isso o momento é nulo:

r 1 → x F 1 → = 0 →

Para a força F 2 → = F i ^ :

r 2 → = a j ^ + 2 a k ^

Assim, usando o produto vetorial:

r 2 → x F 2 → = i ^ j ^ k ^   0 a 2 a F 0 0

M 2 → = i ^ a 2 a 0 0 - j ^ 0 2 a F 0 + k ^ 0 a F 0

Desenvolvendo:

M 2 → = 2 a F j ^ - a F k ^ = F a 2 j ^ - k ^

Assim:

M 0 → = M 1 → + M 2 → = F a 2 j ^ - k ^ = 2 F a j ^ - F a k ^

Passo 3

Show de bola. Agora vamos ver se dá para a gente escrever esse sistema como um sistema força-torçor. Para isso, vamos fazer o produto escalar entre a resultante R → e a resultante M 0 → :

R → . M → = F i ^ - 3 F k ^ . F a 2 j ^ - k ^ = 0 + 0 - 3 F - F a = 3 F 2 a

Como 3 F a 2 é diferente de zero, podemos escrever o sistema como um sistema força-torçor:

Passo 4

Beleza, agora queremos escrever o momento associado ao torçor na forma vetorial e achar o ponto y - z em que a linha de ação do torçor passa.

O que sabemos? Sabemos que o torçor tem a mesma direção que a força resultante. Por isso calculamos n → antes:

M → = M n → = M . ( 1 10 i ^ - 3 10 k ^ )

E sabemos que a soma desse momento mais o momento que a força resultante faz em relação ao ponto de origem é igual ao momento resultante em relação à origem:

M 0 = M → + r o P → x R →

Queremos achar M e o vetor r O P → = y j ^ + z k ^

Passo 5

Vamos antes desenvolver:

r o P → x R → = i ^ j ^ k ^ 0 y z F 0 - 3 F

Desenvolvendo:

r o P → x R → = i ^ y z 0 - 3 F - j ^ 0 z F - 3 F + k ^ 0 y F 0

r o P → x R → = - 3 F y i ^ + F z j ^ - F y k ^

Passo 6

Então:

M → + r o P → x R → = M . 1 10 i ^ - 3 10 k ^ - 3 F y i ^ + F z j ^ - F y k ^

= M 10 - 3 F y i ^ + F z j ^ + - 3 10 M - F y k ^

Voltando àquela igualdade:

M 0 = M → + r o P → x R →

2 F a j ^ - F a k ^ = M 10 - 3 F y i ^ + F z j ^ + - 3 10 M - F y k ^

Perceba que do lado esquerdo o termo que acompanha i ^ é nulo. Assim, do lado esquerdo também precisa ser:

M 10 - 3 F y = 0 → M = 3 10 F y

Comparando os outros termos:

2 F a = F z → z = 2 a

- F a = - 3 10 M - F y

Substituindo o valor de M = 3 10 F y :

- F a = - 3 10 3 10 F y - F y

- F a = - 9 F a y - F a y → y = a 10

Assim, o valor de M é:

M = 3 10 F a 10 = 3 10 F a 10

Passo 7

Assim, podemos escrever o momento como:

M → = M n →

M → = 3 10 F a 10 . 1 10 i ^ - 3 10 k ^

E o ponto P = y p , z p :

P = a 10 , 2 a

Resposta

M → = 3 10 F a 10 . 1 10 i ^ - 3 10 k ^

P = a 10 , 2 a

Exercício Resolvido #15

Substitua as duas forças atuando no mastro por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento M associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto P no plano y - z pelo qual passa a linha de ação do torçor.

Passo 1

Primeiro vamos escrever a força resultante, observando a figura. Veja que existe uma força apontando na direção positiva de x e outra no sentido positivo de y :

T → = T i ^ + T j ^

Assim, a força pode ser escrita como:

T → = T → n →

T → = 2 T i ^ 2 + j ^ 2

n → = i ^ 2 + j ^ 2

Passo 2

Agora vamos calcular o momento resultante. Para a força em x :

r x → = 3 a k ^

Assim:

M x → = r x → x T i ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 3 a T 0 0 = i ^ 0 3 a 0 0 - j ^ 0 3 a T 0 - k ^ 0 0 T 0

= 3 T a j ^

Para a força em y :

M y → = r y → x T j ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 4 a 0 T 0 = i ^ 0 4 a T 0 - j ^ 0 4 a 0 0 - k ^ 0 0 0 T

M y → = - 4 a T i ^

Assim:

M 0 → = - 4 a T i ^ + 3 a T j ^

Passo 3

Escrevendo o momento M → do torçor como:

M → = M n →

M → = M i ^ 2 + j ^ 2

Passo 4

Usando a relação:

M → 0 = M → + r o p → x T →

Queremos achar o ponto r O P → = y j ^ + z k ^

Desenvolvendo r O P → x T → :

r O P → x T → = i ^ j ^ k ^ 0 y z T T 0 = i ^ y z T 0 - j ^ 0 z T 0 + k ^ 0 y T T

Calculando:

r O P → x T → = - T z i ^ + T z j ^ - T y k ^

Assim:

M → + r o p → x T → = M i ^ 2 + j ^ 2 + - T z i ^ + T z j ^ - T y k ^

= i ^ M 2 - T z + j ^ M 2 + T z + k ^ - T y

Isso tudo igual a M 0 → :

- 4 a T i ^ + 3 a T j ^ = i ^ M 2 - T z + j ^ M 2 + T z + k ^ - T y

Passo 5

Comparando termo a termo:

- 4 a T = M 2 - T z

3 a T = M 2 + T z

0 = - T y

Da última equação:

y = 0

Somando a primeira e a segunda:

- a T = 2 M 2 → M = - a T 2

Substituindo na primeira equação:

- 4 a T = - a T 2 2 - T z

- 4 a T = - a T 2 - T z → - T z = a T 2 - 4 a T

z = 7 2 a

Passo 6

Assim, o ponto P onde a linha de ação da força resultante passa é:

y , z = 0 , 7 a 2

E o momento pode ser escrito como:

M → = M n → = - a T 2 i ^ 2 + j ^ 2

Observe que o sinal de menos na frente indica que o sentido do vetor momento é contrário ao sentido da força resultante.

Resposta

y , z = 0 , 7 a 2

M → = - a T 2 i ^ 2 + j ^ 2

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