Forças em Três Dimensões

Teoria Completa

Introdução

Imagine que você está dentro de um avião e de repente ele começa a passar por uma turbulência... Na turbulência, o avião sofre a ação de forças vindas de várias direções, sendo causadas pela movimentação do ar, além da ação do próprio peso do avião:

Você acha que dá para tratar esse problema da forma como estamos acostumados, ou seja, em duas dimensões?

Não!!!! Por isso vamos expandir nossos conhecimentos para o mundo 3 D . Bora lá!

Escrevendo o Vetor Força

Digamos que uma força F de módulo igual a 10   k N   esteja sendo aplicada em um ponto A   e a sua linha de ação percorre uma reta que passa por A e por um outro ponto B :

Nós sabemos que módulo da força é F , mas não sabemos como escrevê-la na forma vetorial. Como vamos fazer isso?

Usando esses dois pontos!!! Os dois pontos definem uma direção, certo? E o sentido é a informação que diz que a força parte de A para B .

Vamos montar este vetor:

A B → = B - A = 2,1 , 1 - 4,0 , 2 = - 2,1 , - 1

Mas não podemos esquecer de normalizar este vetor, ou seja, dividir cada um dos seus termos pelo módulo do vetor de forma geral temos:

n → A B = 1 a 2 + ( b ) 2 + c 2 . a , b , c

Para o nosso caso:

n → A B = 1 - 2 2 + ( 1 ) 2 + - 1 2 . - 2,1 , - 1

n → A B = - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

Ficou meio esquisito né? Que tal escrevermos com i ^ ,   j ^ e k ^ ? Onde esses três vetores são os vetores unitários das direções x , y e z

n → A B = - 0.816   i ^ + 0.408   j ^ - 0.408   k ^

Show de bola? Esse vetor define o sentido e a direção da nossa força.

Agora se quisermos escrever a força como um vetor, temos que multiplicar o seu módulo pelo vetor normalizado:

F → = F . n → A B

Onde F é o módulo da força. Então vai ficar assim:

F → = 10 . ( - 0.816   i ^ + 0.408   j ^ - 0.408   k ^ )

F → = - 8 . 16   i ^ + 4 . 08   j ^ - 4 . 08   k ^

Esse vai ser basicamente o processo que vamos usar para escrever o vetor força. Faremos isso várias vezes nos exercícios.

Obs.: O vetor unitário n → A B é, em alguns casos, chamado de versor.

Projeções

Em forças 2 D , você aprendeu uma forma simples de se projetar uma força em uma direção qualquer. Agora vamos expandir nossos horizontes, afinal de contas, aumentamos uma dimensão nessa parada né?

Mas não será tão complicado. Antigamente, você precisaria do ângulo entre a força F → e o vetor direção n → , certo? Agora não, pois para projetar a força na direção de n → qualquer, sendo n → um vetor unitário, basta você usar o produto escalar:

F n = F → ⋅ n →

Então vamos fazer uma brincadeira? Que tal fazermos a projeção da força F = 5 i ^ + 4 j ^ + 6 k ^ sobre o direção A B → do exemplo anteior?

Pessoal, uma dica, o desenho abaixo está mostrando tanto a força F → quanto a direção A B → . Mas não fique muito apegado ao desenho porque pode te confundir já que é um desenho tridimensional! Então olha rapidinho e parte para as contas, você vai ver que é mais simples!

Aplicando a nossa equação vamos ter:

F n = F → ⋅ n →

Substituindo (aqui vou usar a notação de parêntesis para ficar mais fácil de fazer o produto escalar):

F → = ( 5 ;   4 ;   6 )

n → A B = - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

F n = ( 5,4 , 6 ) ⋅ - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

F n = 5 × - 0.816 + 4 × 0.408 + ( 6 × - 0.408 )

F n = - 4.896   N

Mas como vimos no tópico de vetores, isso aí em cima não gera um vetor, e sim um escalar. Então, para representar a projeção como um vetor, basta multiplicar o resultado acima por n → (afinal de contas, a projeção terá a direção do vetor unitário):

F → n = F → . n → n →

ou

F → n = F n . n →

Como a gente já tem F n vamos utilizar a segunda equação e obter:

F → n = F n . n → A B

F → n = - 4.896   .     ( - 0.816   i ^ + 0.408   j ^ - 0.408   k ^ )

Como temos um escalar multiplicando um vetor é só usar a distributiva:

F → n = 4 i ^ - 2 j ^ - 2 k ^

Que pode ser escrito também como:

F → n = ( 4,2 , 2 )

Ângulo entre Força e Eixo

Bom, você viu que não precisa saber o ângulo entre uma determinada direção e o vetor força para fazer a projeção. Mas e se você quiser saber este ângulo?

Basta você usar a outra forma do produto escalar:

F → . n → = F → n → cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = F → . n → F → n →

Vamos fazer para o nosso exemplinho!! Lembrando que:

F → = ( 5 ;   4 ;   6 )

n → A B = - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

Qual será o ângulo entre a força e a direção de projeção?

É só aplicar a equaçãozinha:

cos ⁡ θ = F → . n → A B F → n → A B

Agora precisamos do módulo de n → A B que será:

| n → A B | = ( - 0.816 ) 2     0.408 2 + ( - 0.408 ) 2

| n → A B | = 1

Show de bola achamos 1, isso porque esse vetor já é normalizado né? Contiuemos então. Agora precisamos achar o módulo de F → :

| F → | = ( 4 ) 2     5 2 + ( 6 ) 2

F → = 8,77   N

Como:

F n = F → ⋅ n →

F n = - 4.896   N

Então a gente pode substituir na equação:

cos ⁡ θ = F → . n → A B F → n → A B

cos ⁡ θ = - 4.896 ( 8,77 ) ( 1 )

cos ⁡ θ = - 0,558

θ = a r c c o s s ( - 0,558 )

θ = 124 °

obs: Pode não refletir muito bem na imagem porque estamos olhando um ângulo num sistema tridimensional beleza? Isso pode confundir mesmo!

De forma geral vamos ter o vetor n → normalizado então podemos fazer:

n → = 1 :

cos ⁡ θ = F → . n → F → n →

cos ⁡ θ = F → . n → F →    

θ = cos - 1 ⁡ F → . n → F →

Se uma questão te pedir apenas o valor do ângulo que uma certa força faz com alguma direção, basta você utilizar qualquer vetor que esteja na mesma direção e no mesmo sentido da força.

Partiu fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam& L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 53,2/99

a ) Expresse F vetorialmente em termos dos vetores unitários i ^ ,   j ^ e k ^ . b ) Determine o ângulo entre F e o eixo y .

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Passo 1

Vamos primeiro definir o vetor da direção O P . Sendo o ponto O :

O = 0,0 , 0

E o ponto P :

P = 40 , - 50,110

Temos:

O P = P - O = 40 , - 50,110

Normalizando-o:

n → O P = 1 50 2 + 40 2 + 110 2 . ( 40 i ^ - 50 j ^ + 110 k ^ )

Passo 2

Agora é só definir a força usando o vetor:

F → = F n → O P = 60 50 2 + 40 2 + 110 2 . ( 40 i ^ - 50 j ^ + 110 k ^ )

Efetuando as contas, chegamos a isso:

F → = 18,86 i ^ - 23,6 j ^ + 51,9 k ^   N

Passo 3

Nesse caso, achar o ângulo que a força faz com o eixo y é mais simples do que em outros casos que iremos ver. Basta você usar um triângulo retângulo:

Lembrando que o módulo de F → vale 60 N :

cos ⁡ θ y = F y F = 23,6 60 → cos ⁡ θ y = 0,393

θ y = cos - 1 ⁡ 0,393       →           θ y = 66,9 °

Mas como a componente da força na direção do eixo y tem sinal negativo, devemos considerar o suplemento desse ângulo. Ou seja:

θ y = 113,1 °

Resposta

a )   F → = 18,86 i ^ - 23,6 j ^ + 51,9 k ^

b )   θ y = 113,1 °

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 53,2/103

A força F de módulo 900   N e atua ao longo da diagonal do paralelepípedo, como mostrado. a )   Expresse F em termos de seu módulo multiplicado pelo vetor unitário apropriado, e b ) determine seus componentes x   e y .

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Passo 1

O sentido da força já está mostrado na figura.

Vamos definir o ponto inicial e final que definem o vetor direção da força:

P i = 0,4 , 4

Sendo esse o ponto extremo da face superior do paralelepípedo.

E:

P f = 2,0 , 0

Assim, o vetor direção será dado por:

P i P f → = 2,0 , 0 - 0,4 , 4 = 2 , - 4 , - 4

E o vetor normalizado:

n → = 1 2 2 + - 4 2 + - 4 2 . 2 , - 4 , - 4 = 0.33 , - 0.67 , - 0.67

Passo 2

Assim:

F → = 900 . 0.33 , - 0.67 , - 0.67

F → = 297 i ^ - 603 j ^ - 603 k ^

Portanto,

F x = 297 N

F y = - 603 N

Resposta

a )   F → = 297 i ^ - 603 j ^ - 603 k ^   N

b )   F x = 297   N       e       F y = - 603   N

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 53,2/100

A torre de transmissão de micro-ondas com 70   m de altura é equilibrada por três cabos de amarração, como mostrado. O cabo A B suporta uma força trativa de 12   k N . Expresse em forma vetorial a força correspondente no ponto B .

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Passo 1

Nós devemos descobrir quem é o vetor n que vai do ponto inicial B para o ponto A .

Esta é uma força trativa, pois ela tem uma tendência de fazer os dois pontos se aproximarem.

Passo 2

Beleza, então como vamos achar o vetor normalizado n ? Vamos primeiro gerar o vetor:

B A → = A - B

A é o ponto final e B o inicial. Depois vamos normalizá-lo.

Pela figura, da pra perceber que:

A = 0 i ^ + 0 j ^ + 70 k ^ = 0,0 , 70

E :

B = 35 i ^ - 25 j ^ + 10 k ^ = 35 , - 25,10

Então:

B A → = A - B = 0,0 , 70 - 35 , - 25,10 = - 35,25,60

Assim, normalizando:

n → = B A → B A → = 1 35 2 + 25 2 + 60 2 . - 35 i ^ + 25 j ^ + 60 k ^

Então, a força será dada por:

F → = F . n → = 12 . 1 35 2 + 25 2 + 60 2 . - 35 i ^ + 25 j ^ + 60 k ^

F → = - 5,69 i ^ + 4,06 j ^ + 9,75 k ^   k N

Resposta

F → = - 5,69 i ^ + 4,06 j ^ + 9,75 k ^   k N

Exercício Resolvido #4

UFPE, P1, Giovanna, questão 1

Considere o sistema ilustrado na figura a seguir e determine os itens abaixo. (Use: s e n 30 ° = 1 2 e cos ⁡ 30 ° = 4 5 ).

  1. Calcule o versor na direção A B e defina a força F em notação vetorial cartesiana em termos deste versor.
  2. Calcule a intensidade da componente de F ao longo da direção A C .
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Passo 1

Vamos calcular primeiro o ângulo que a força F → faz com o plano x y :

Então:

t g θ = 11 10

Assim:

θ = a r c t g 11 10 = 18,3 °

Veja a figura de novo: se quisermos calcular a componente y da força, primeiro temos que multiplicar por c o s ⁡ ( 18,3 ° ) de modo a rebater a força para o plano x y e depois por c o s ⁡ ( 30 ° ) para que ela fique no eixo y .

Assim, a componente y do versor é:

n y = cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 °

E a componente x   devemos multiplicar no final por s e n 30 ° :

n x = cos ⁡ 18,3 ° s e n 30 °

E a componente z ? Apenas definida por:

n z = - s e n ( 18,3 ° )

E é negativa por que a força aponta para baixo!

E esse vetor já está normalizado? Sim e podemos comprovar isso calculando o seu módulo que deve dar 1 como resposta:

n = cos ⁡ 18,3 ° s e n 30 ° 2 + cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 ° 2 + - s e n 18,3 ° 2 = 1

Passo 2

Definindo a força em termos de n → :

F → = F n → = 10 . cos ⁡ 18,3 ° . s e n 30 ° i ^ + 10 . cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 ° j ^ - 10 . s e n 18,3 ° k ^

F → = 4,74 i ^ + 8,22 j ^ - 3,14 k ^ = ( 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 )

Passo 3

Basicamente, o item está te pedindo a projeção de F → em A C .

Pra isso, você tem que definir o vetor normal daquela direção. Então vamos trabalhar em cima do triângulo abaixo:

Perceba que a distância de C até a origem é dada por:

O C = 10 s e n 30 ° = 5   m

Agora podemos calcular o ângulo que o versor faz com a horizontal:

Assim:

β = a r c t g   11 5 = 33,5 °

Então:

n → A C = cos ⁡ 33,5 ° i ^ + 0 j ^ - s e n 33,5 ° k ^ = ( 0,83 ; 0 ; - 0,553 )

Passo 4

Agora é só fazer:

F A C = F → . n → A C = 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 . 0,83 ; 0 ; - 0,553

F A C = 4,74 . 0,83 + 0 + - 3,14 . - 0,553

F A C = 5,67   k N

Resposta

a )   F → = 4,74 i ^ + 8,22 j ^ - 3,14 k ^ k N = ( 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 ) k N