Vigas – Efeitos externos

Teoria Completa

Introdução

Nesse tópico vamos abordar as vigas. Mas o que é uma viga?

Viga é esse elemento estrutural horizontal e ela participa da transmissão de cargas que chegam no solo. Existem diversos elementos de máquinas que têm comportamento equivalente ao de uma viga, por isso seu estudo é tão importante em diversas áreas.

O que vamos estudar aqui é o seguinte: O que acontecerá se uma força for aplicada em uma viga, como mostrado abaixo?

Para começar a entender esse tipo de problema a gente tem que entender os apoios (que estão representados em A e B ).

Apoios e Reações

Antes de tudo vamos relembrar uma coisa muito importante: Reações de apoio só surgem onde há impedimento de movimento. Então, se algum apoio não permitir que uma estrutura se mova no eixo x , por exemplo, você coloca uma reação F x . Vamos ver os principais apoios:

  1. Apoios que impedem um movimento, chamados apoios de 1° gênero:
  2. Repare que esse apoio é um rolete, ou seja, ele permite que a viga se mova na horizontal, mas não permite que ela se desloque na vertical. Então, o que fazemos neste caso? Substituímos o apoio por uma reação na direção em que não há movimento, assim:

    Esse mesmo apoio pode ser representado por essas formas aqui:

    Já sabe, se aparecer algum desses apoios eles impedem movimento em uma direção!!!

  3. Apoios que impedem dois movimentos, chamados de apoios de 2° gênero. São os pinos, por exemplo:
  4. Outra forma de representar esse tipo apoio é:

  5. Apoios que impedem dois movimentos e a rotação, chamados de apoios de 3° gênero: esses são os engastes, quando parte de uma viga está embutida dentro de uma parede, por exemplo. A diferença é que aqui temos também um momento como reação.

Esse apoio pode aparecer para você assim:

Voltando ao nosso exemplinho a gente tinha isso aqui:

Logo, temos um apoio de 2° gênero em A e um rolete (apoio de primeiro gênero) em B . Portanto, as reações vão ficar da seguinte forma:

Tipos de Viga

Viga em balanço: são aquelas que possuem uma parte “balançando”, sem apoios. Normalmente essas vigas vão estar presas por engastes, mas podem estar apoiadas em pinos e roletos também.

Viga com apoios simples: essas vão ter suas extremidades sempre presas (apoiadas ou engastadas).

Lembre-se que a reação depende do tipo de apoio, independentemente da viga estar em balanço ou não. Mas é muito importante saber o que é uma viga em balanço porque com certeza você verá isso!

Efeitos Externos

Os efeitos externos da aplicação de uma força numa viga são justamente as reações. E como fazemos para calcular? Vamos voltar ao nosso problema, já com as reações:

Basicamente, uma viga deve atender as condições de equilíbrio da mecânica, ou seja:

∑ F = 0

∑ M = 0

Então para a nossa viga vamos ter três equações:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Aí agora é calcular cada uma dessas três equações, lembrando de sempre considerar as direções positivas e negativas, vamos começar pelo somatório das forças em x e considerar tudo que é para a direita positivo:

∑ F x = 0

R A x = 0

Perceba que existe apenas uma força em x , que é a reação horizontal no apoio. Como essa viga está estática, então essa força deve ser zero!

Vamos agora para a força em y , considerando as forças positivas para cima:

∑ F y = 0

R A y - 50 + R B y = 0

R A y + R B y = 50

Ainda não podemos resolver então vamos para o momento, considerando o momento positivo no sentido horário e aplicado ao ponto A (você pode aplicar em A ou B , tanto faz belezinha?):

∑ M A = 0

50 × 3 - R B y × 5 = 0

Perceba que as reações em A desaparecem pelo fato de estarmos aplicado o momento no ponto A . Por isso que para acharmos um valor a gente tem que sempre utilizar o ponto de aplicação onde já existe uma incógnita (na verdade, quanto mais incógnitas melhor). Continuando nós vamos ter:

150 - 5 R B y = 0

R B y = 30   k N

Logo, substituindo na equação da força vertical:

R A y + R B y = 50

R A y + 30 = 50

R A y = 20   k N

Viu que maneiro! Achamos as nossas reações e podemos colocar elas na nossa viga:

Forças distribuídas

Nos exemplos que vimos até aqui, as forças eram pontuais ou concentradas. Porém, muitas forças no mundo real são distribuídas. Essas forças podem ser substituídas por uma ou mais forças resultantes. Vamos ver os principais casos:

  • Retangular ou uniforme:
  • Para achar a força resultante é só calcular a área do retângulo. Mas como vamos saber aonde posicionar a força resultante? É sempre no meio do comprimento (na metade da base do retângulo):

  • Triangular:
  • E olha só como vai ficar a força resultante nesse caso:

    Não se esqueça que a resultante fica localizada a 1 3 de distância da altura do triângulo. (Sempre no baricentro do triângulo)

  • Trapezoidal:

Nesse caso, como vamos dividir o trapézio em um retângulo e em um triângulo para facilitar. A única diferença é que vamos ter duas forças resultantes.

R = R 1 +   R 2

E o cálculo dessas forças resultantes, você faria olhando para o retângulo e para o triângulo, como foi mostrado lá em cima.

E se tivermos uma figura assim, onde ω representa a função da carga distribuída?

As forças distribuídas são dadas em unidades de força por comprimento ( N / m ) . Então, para achar a força resultante é só integrar a equação ω do carregamento ao longo do seu comprimento:

R = ∫ ω   d x

Se ω = 3 x 2 + 100 e está atuando numa viga de 5 m , por exemplo, vamos ter que:

R = ∫ 0 5 ( 3 x 2 + 100 )   d x

R = ( x 3 + 100 x ) | 0 5

R = 625   N

Nos casos anteriores, a resultante R está localizada no centroide da figura. Mas e nesses casos mais gerais como faço para saber a localização da resultante? Para isso vamos usar essa fórmula aqui:

x - = ∫ x ω   d x R

x - = ∫ x   3 x 2 + 100 d x 625

Aonde, resolvendo a integral teríamos:

∫ 0 5 ( 3 x 3 + 100 x )   d x

3 x 4 4 + 100 x 2 2 5 0

E substituindo os limites de integração

3 × 625 4 + 100 × 25 2 = 1718,75

E com isso, nosso ponto de aplicação da força seria:

x - = 1718,75 625 = 2,75 m

Pessoal, vamos ver na prática como essas cargas uniformes funcionam então vamos para os exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 204, 5/96

Calcule as reações em A   e   B para a viga submetida à carga distribuída triangular.

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Passo 1

A primeira coisa que vemos entender nesse problema é que o carregamento triangular vai ser substituído por uma força concentrada de igual intensidade e aplicada no centroide do triângulo, vamos chamar essa força de F r .

Temos que atender a duas condições de equilíbrio:

∑ F → = 0 → → R A + R B - F r = 0

∑ M = 0

Sendo que em relação ao momento, vamos usar como referência o ponto A , pois assim, vamos retirar duas incógnitas que desconhecemos A y e A x .

∑ M A = 0

Passo 2

A força resultante devido à distribuição de forças contínua é dada pela área do triângulo:

F r = 4,8 3 2 = 7,2 k N

E a posição em relação a A ?

Vai ser dada por 2 3 da base do triângulo:

x r = 2 3 3 = 2 m

Passo 3

Como estamos usando o ponto A como referência, a força de reação R A não exercerá momento. Sendo assim:

∑ M A = 0

Considerando o sentido anti-horário positivo:

7,2 2 - R B 6 = 0

R B = 2,4 k N

Passo 4

Agora é só usar a soma de forças:

∑ F y = 0

R B + R A - F R = 0

2,4 + R A - 7,2 = 0 → R A = 4,8 k N

Resposta

R B = 2,4 k N

R A = 4,8 k N

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 205, 5/100

Determine as reações em A para a viga em balanço submetida às cargas concentrada e distribuída.

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Passo 1

A viga precisa satisfazer a duas condições:

∑ F = 0

∑ M = 0

Passo 2

Vamos primeiro calcular a força de reação vertical. Pra isso, vamos escrever antes que:

R A - F W - 2 = 0

Onde F W é a força concentrada que representa a distribuição linear de força. Essa força pode ser calculada pela área do triângulo, como já sabemos:

F W = 1 2 3 4 = 6 k N

Assim:

R A - 6 - 2 = 0 → R A = 8 k N

Passo 3

Agora vamos para o momento. Existe um momento em A , M A , que equilibra os momentos das forças, tanto a concentrada quanto a distribuída:

- M A + M W + 2 3 + 1,5 = 0

Perceba que a distância da força de 2 k N até A vale 4,5 m .

E onde está localizada a força concentrada que é resultante da distribuição de forças? No baricentro do triângulo! Assim:

x - = 2 3 3 = 2 m

Assim:

M W = 6.2 = 12 k N . m

Assim:

- M A + 12 + 2 4,5 = 0 → M A = 12 + 9 = 21 k N . m

Resposta

R A = 8 k N

M A = 21 k N . m

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 205-5/102

Calcule as reações dos apoios em A e B para a viga submetida às duas cargas distribuídas com variação linear.

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Passo 1

Primeiro vamos montar o diagrama de corpo livre:

Agora temos que transformar essas forças distribuídas em forças pontuais. Repare que temos dois trapézios. Então, vamos dividir cada trapézio em um retângulo e um triângulo, assim:

Vamos chamar cada área de a , b , c e d e vamos calcular suas resultantes:

  • Área a :
  • F a   = 4 ( 4 ) = 16   k N

    Sabemos que a força resultante fica na metade do comprimento do retângulo:

    x - a   = 1 2 ( 4 ) = 2   m

  • Área b :
  • F b   = 4 ( 4 ) 2 = 8   k N

    Essa força resultante fica localizada à 1 3 da altura do triângulo, então:

    x - b   = 2 3 ( 4 ) = 8 3   m

  • Área c :
  • F c   = 8 ( 3 ) 2 = 12   k N

    Quando temos um triângulo, a força resultante fica à 1 3 da altura:

    x - c   = 1 3 ( 3 ) = 1   m

  • Área d :

F d   = 2 ( 3 ) = 6   k N

A posição da força resultante é:

x - d   = 1 2 ( 3 ) = 3 2   m

Então, como ficou nosso diagrama de corpo livre no final das contas?

Passo 2

Precisamos agora escolher um ponto de referência para calcular os momentos. Vamos escolher o ponto A :

∑ M A = 0 →   B y 7 - 16 2 - 8 8 3 - 12 5 - 6 11 2 = 0

B y = 20,9   k N

Passo 3

Nosso próximo passo é fazer o somatório das forças. Repare que a única força horizontal é a nossa reação A x , logo ela será nula. Escrevendo matematicamente, temos:

∑ F x = 0   →   A x = 0

Agora vamos fazer o somatório das forças na vertical:

∑ F Y = 0   →   A y + 20,9 -   16 - 8 - 12 - 6   = 0

A y = 21,1   k N

Resposta

A x = 0

A y = 21,1   k N

B y = 20,9   k N

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 205-5/105

Determine a força e o momento de reação em A para a viga que está submetida à combinação de carga mostrada.

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Passo 1

Vamos começar montando o diagrama de corpo livre:

Repare que nossa força distribuída tem a forma de um trapézio. E o que fazemos quando isso acontece? Temos que dividir em um retângulo e um triângulo.

  • Retângulo: perceba que a força resultante tem o mesmo sentido das setinhas da carga distribuída, então nesse caso ela aponta para cima, desse jeito:
  • R 1   = 24 ( 2,5 ) = 60   k N

    Sabemos que a força resultante fica na metade do comprimento do retângulo:

    x - 1   = 1 2 ( 2,5 ) = 1,25   m

  • Triângulo:

R 2   = 36 ( 2,5 ) 2 = 45   k N

Essa força resultante fica localizada à 1 3 da altura do triângulo, então:

x - 2   = 1 3 2,5 = 1 3 5 2 = 5 6   m

Então, o nosso diagrama de corpo livre fica assim:

Passo 2

Agora temos escolher um ponto de referência para calcular os momentos. Vamos escolher o ponto A , porque esse ponto tem a maior quantidade de forças que são incógnitas.

∑ M A = 0 →   40 - 50 4 + 60 3,75 + 45 25 6 - M A = 0

M A = 252,5   k N m

Passo 3

Nosso próximo passo é fazer o somatório das forças. Repare que a única força horizontal é a nossa reação A x , logo ela será nula. Escrevendo matematicamente, temos:

∑ F x = 0   →   A x = 0

Agora vamos fazer o somatório das forças na vertical:

∑ F Y = 0   →   A y + 60 +   45 - 50 = 0

A y = - 55   k N

Resposta

A x = 0

A y = - 55   k N

M A = 252,5   k N m

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 205, 5/106

Determine a força e o momento de reação no apoio A para a viga engastada que está submetida a uma carga distribuída senoidal.

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Passo 1

Teremos duas reações no ponto A : A força de reação e o momento de reação, já que a viga está engastada:

Teremos que satisfazer duas condições:

∑ F → = 0 →

∑ M A = 0

Passo 2

A distribuição de forças senoidal pode ser modelada por:

w = w 0 s e n π x l

Já que em x = 0