Vigas – Efeitos externos

Teoria Completa

Introdução

Nesse tópico vamos abordar as vigas. Mas o que é uma viga?

Viga é esse elemento estrutural horizontal e ela participa da transmissão de cargas que chegam no solo. Existem diversos elementos de máquinas que têm comportamento equivalente ao de uma viga, por isso seu estudo é tão importante em diversas áreas.

O que vamos estudar aqui é o seguinte: O que acontecerá se uma força for aplicada em uma viga?

Apoios e Reações

Antes de tudo vamos relembrar uma coisa muito importante: Reações de apoio só surgem onde há impedimento de movimento. Então, se algum apoio não permitir que uma estrutura se mova no eixo x , por exemplo, você coloca uma reação F x . Vamos ver os principais apoios:

  1. Apoios que impedem um movimento:
  2. Repare que esse apoio é um rolete, ou seja, ele permite que a viga se mova na horizontal, mas não permite que ela se desloque na vertical. Então, o que fazemos neste caso? Substituímos o apoio por uma reação na direção em que não há movimento, assim:

    Esse mesmo apoio pode ser representado por essas formas aqui:

    Já sabe, se aparecer algum desses apoios eles impedem movimento em uma direção!!!

  3. Apoios que impedem dois movimentos:
  4. Outra forma de representar esse tipo apoio é:

  5. Apoios que impedem dois movimentos e a rotação: esses são os engastes, quando parte de uma viga está embutida dentro de uma parede, por exemplo. A diferença é que aqui temos também um momento como reação.

Esse apoio pode aparecer para você assim:

Tipos de Viga

Viga em balanço:

Viga com apoios simples:

Esses vão ser, basicamente, os tipos de viga que vamos lidar. Claro, podemos formar combinações, como essa:

Efeitos Externos

Os efeitos externos da aplicação de uma força numa viga são justamente as reações. E como fazemos para calcular?

Basicamente, uma viga deve atender as condições de equilíbrio da mecânica, ou seja:

∑ F = 0

∑ M = 0

Assim, por exemplo, vamos considerar o caso de uma viga em apoio simples submetida a uma força F localizada no centro da barra:

Sabemos que as forças devem ser equilibradas. Sendo assim, surgirão as seguintes reações:

Na horizontal só temos a reação A x → ...logo seu valor será nulo:

∑ F x = 0 → A x = 0

Na vertical temos as reações A y → e B y → de sentidos contrários de modo a compensar a força F :

∑ F y = 0 → A y +   B y - F = 0

Temos duas incógnitas e somente uma equação. O que devemos fazer agora? Escolher um dos pontos A ou B como referência para fazer o somatório de momentos. Vamos escolher o ponto A , porque tem maior quantidade de forças:

∑ M A = 0   →   B y   2 L - F L = 0

B y = F 2     e     A y = F 2

E é isso! Quando estivermos falando dos efeitos externos gerados pela ação de uma força em uma viga, estaremos falando das reações que aparecem.

Forças distribuídas

Nos exemplos que vimos até aqui, as forças eram pontuais ou concentradas. Porém, muitas forças no mundo real são distribuídas. Essas forças podem ser substituídas por uma ou mais forças resultantes. Vamos ver os principais casos:

  • Retangular:
  • Para achar a força resultante é só calcular a área do retângulo. Mas como vamos saber aonde posicionar a força resultante? É sempre no meio do comprimento (na metade da base do retângulo):

  • Triangular:
  • E olha só como vai ficar a força resultante nesse caso:

    Não se esqueça que a resultante fica localizada a 1 3 de distância da altura do triângulo.

  • Trapezoidal:

Nesse caso, como vamos dividir o trapézio em um retângulo e em um triângulo para facilitar. A única diferença é que vamos ter duas forças resultantes.

R = R 1 +   R 2

E se tivermos uma figura assim:

As forças distribuídas são dadas em unidades de força por comprimento ( N / m ) . Então, para achar a força resultante é só integrar a equação ω do carregamento ao longo do seu comprimento:

R = ∫ ω   d x

Se ω = 3 x 2 + 100 e está atuando numa viga de 5 m , por exemplo, vamos ter que:

R = ∫ 0 5 ( 3 x 2 + 100 )   d x

R = ( x 3 + 100 x ) | 0 5

R = 625   N

Nos casos anteriores, a resultante R está localizada no centroide da figura. Mas e nesses casos mais gerais como faço para saber a localização da resultante? Para isso vamos usar essa fórmula aqui:

x - = ∫ x ω   d x R

Agora vamos dar aquela praticada para fixar todas essas informações!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 204, 5/96

Calcule as reações em A   e   B para a viga submetida à carga distribuída triangular.

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Passo 1

Temos que atender a duas condições de equilíbrio:

∑ F → = 0 → → R A + R B - F r = 0

∑ M = 0

Sendo que em relação ao momento, vamos usar como referência o ponto A :

∑ M A = 0

Passo 2

A força resultante devido à distribuição de forças contínua é dada pela área do triângulo:

F r = 4,8 3 2 = 7,2 k N

E a posição em relação a A ?

Vai ser dada por 2 3 da altura do triângulo:

x r = 2 3 3 = 2 m

Passo 3

Como estamos usando o ponto A como referência, a força de reação R A não exercerá momento. Sendo assim:

7,2 2 - R B 6 = 0 → R B = 2,4 k N

Passo 4

Agora é só usar a soma de forças:

2,4 + R A - 7,2 = 0 → R A = 4,8 k N

Resposta

R B = 2,4 k N

R A = 4,8 k N

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 205, 5/100

Determine as reações em A para a viga em balanço submetida às cargas concentrada e distribuída.

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Passo 1

A viga precisa satisfazer a duas condições:

∑ F = 0

∑ M = 0

Passo 2

Vamos primeiro calcular a força de reação vertical. Pra isso, vamos escrever antes que:

R A - F W - 2 = 0

Onde F W é a força concentrada que representa a distribuição linear de força. Essa força pode ser calculada pela área do triângulo, como já sabemos:

F W = 1 2 3 4 = 6 k N

Assim:

R A - 6 - 2 = 0 → R A = 8 k N

Passo 3

Agora vamos para o momento. Existe um momento em A , M A , que equilibra os momentos das forças, tanto a concentrada quanto a distribuída:

- M A + M W + 2 3 + 1,5 = 0

Perceba que a distância da força de 2 k N até A vale 4,5 m .

E onde está localizada a força concentrada que é resultante da distribuição de forças? No baricentro do triângulo! Assim:

x - = 2 3 3 = 2 m

Assim:

M W = 6.2 = 12 k N . m

Assim:

- M A + 12 + 2 4,5 = 0 → M A = 12 + 9 = 21 k N . m

Resposta

R A = 8 k N

M A = 21 k N . m

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 205-5/102

Calcule as reações dos apoios em A e B para a viga submetida às duas cargas distribuídas com variação linear.

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Passo 1

Primeiro vamos montar o diagrama de corpo livre:

Agora temos que transformar essas forças distribuídas em forças pontuais. Repare que temos dois trapézios. Então, vamos dividir cada trapézio em um retângulo e um triângulo, assim:

Vamos chamar cada área de a , b , c e d e vamos calcular suas resultantes:

  • Área a :
  • F a   = 4 ( 4 ) = 16   k N

    Sabemos que a força resultante fica na metade do comprimento do retângulo:

    x - a   = 1 2 ( 4 ) = 2   m

  • Área b :
  • F b   = 4 ( 4 ) 2 = 8   k N

    Essa força resultante fica localizada à 1 3 da altura do triângulo, então:

    x - b   = 2 3 ( 4 ) = 8 3   m