Vigas – Efeitos Internos

Teoria Completa

Introdução

Dê uma olhada na viga abaixo:

Se eu aumentar a força F continuamente, essa viga irá se quebrar? O que leva ao rompimento da viga?

Para responder esta pergunta, temos que estudar o que acontece internamente na viga quando aplicamos uma carga. Chamamos as forças e momentos que surgem dentro da viga de esforços ou efeitos internos.

Para entender os esforços internos, vamos pegar a viga acima, cortar ao meio e ver o que acontece na seção S .

Sempre que cortamos uma viga como fizemos nesse caso acima, temos que levar para a seção correspondente a contribuição que uma das partes faz na outra. Ou seja, temos que levar para a seção da parte 1 todas as forças da parte 2 e seus respectivos momentos:

O que fizemos neste caso foi levar a força F até a seção S e o momento que ela faz em relação a esse ponto em que cortamos a viga.

Sabendo disso, agora vamos saber quais são os esforços internos:

Força cisalhante ou cortante

Vamos chamar essa força de V e ela é sempre paralela à seção S , ou seja, vai aparecer sempre que existirem forças transversais, perpendiculares, à peça, assim:

Repare que o caso a cima traz dois exemplos nas quais o cortante é positivo. Analogamente podemos defindir também os cortantes negativos:

Lembre-se bem dessas notações de sentido, elas são bem importantes!

Além disso, que o cortante V vai ser igual à resultante de todas as forças que você leva de uma das partes até a seção S . Nesse caso do exemplo, o cortante vai ser igual à força F .

Se você prefirir, ao invés de ficar levando as forças com seus momentos de um lado para o outro, pode fazer o equilíbrio de uma das partes como estamos acostumados. Você coloca o cortante V na seção e utiliza ∑ F = 0 para achar o seu valor, assim:

∑ F = 0

V = F

ATENÇÃO! Vamos adotar o seguinte critério: Se estivermos indo da esquerda para a direita, o cortante positivo será com a seta para baixo...e quando estivermos indo da direita para esquerda, o cortante será positivo quando a seta estiver apontando para cima.

Normal

A normal vai aparecer sempre que tivermos uma força axial (na direção do eixo da peça). Vamos chamar esta força de N e ela sempre é perpendicular à seção S .

A normal será positiva quando estiver com a setinha apontando para fora da viga e quando isso acontecer dizemos que a força está tracionando a estrutura. Ou seja, quando a peça estiver sendo tracionada (esticada) a normal é positiva!

E a normal será negativa quando estiver com a setinha apontando para dentro da viga e quando isso acontecer dizemos que a força está comprimindo a estrutura.

Perceba que os esforços internos sempre ocorrem em pares iguais e de sentidos contrários.

Momento fletor

Momento Fletor é justamente a resultante de todos os momentos produzidos quando levamos as forças de uma parte até a seção S .

O efeito do momento fletor é dobrar a estrutura assim:

E quando o momento fletor é positivo? Vamos considerar positivo sempre que ele estiver tracionando a parte debaixo da viga e comprimindo a parte de cima. Desse jeito aqui:

Cuidado: para ver se o momento fletor é positivo não usamos a regra da mão direita.

Já um momento fletor negativo faz as fibras superiores tracionarem e as inferiores comprimirem:

Exemplo

Vamos ver um exemplo para ficar mais claro. Queremos calcular os esforços internos na seção S da viga abaixo:

Passo 1: Calcular as reações de apoio. Para isso vamos utilizar as equações da estática:

Começando pelo eixo horizontal:

∑ F x = 0

A x - 5 = 0

A x = 5   N

Para o eixo vertical:

∑ F y = 0

A y - 10 = 0

A y = 10   N

E finalmente para o momento, aplicado em A e com direção anti-horária positiva

∑ M A = 0

M A - ( 10 × 8 ) = 0

Repare que, ao aplicar o momento em A , temos apenas dois termos: o do próprio engaste e da força de 10   N .

M = 80   N . m

Assim vamos ter:

Passo 2: Separar a viga na seção S .

Passo 3: Escolher uma das partes e levar a contribuição da outra parte para a sua respectiva seção. Nessa etapa, é mais fácil escolher a parte com maior quantidade de forças e momentos. Então, vou escolher a parte 1 e levar todas as forças de 10 N e 5 N da parte 2 com os seus respectivos momentos para a seção S da parte 1.

Repare que a força de 5 N não tem momento com relação à seção S , pois estamos desprezando a altura da viga.

Uma coisa importante e que ajuda a verificar se está tudo certinho é que cada parte tem que estar em equilíbrio.

Passo 4: Olhar para a seção S e verificar o que é o quê.

  • Cortante: A força de 10 N é paralela à seção S , então ela corresponde ao cortante. Agora vamos comparar com aquele esqueminha para saber se é positivo ou negativo:
  • Repare que a força de 10 N está com a setinha apontando para o mesmo sentido que o cortante V positivo do nosso esquema. Então, o cortante na seção S é:

    V = + 10   N

  • Momento Fletor: o momento que está na seção S é o nosso momento fletor. Repare que a setinha empurra a parte de baixo da viga e puxa a sua parte de cima. Ele está contrário ao sentido que estabelecemos como positivo.
  • Então, nosso momento fletor será:

    M = - 60   N m

  • Normal: a força que está perpendicular à seção S será a nossa normal. E para sabermos se ela é positiva ou negativa temos que comparar com o nosso esqueminha.
  • Repare que a força de 5 N está apontando para dentro da viga e está com sentido contrário ao que estabelecemos como positivo. Então, a normal na seção S é:

    N o r m a l = - 5   N

    Relações Diferenciais

    Bom, existem certas relações diferenciais entre o momento fletor, o cortante e a carga distribuída:

  • Se você tiver a equação do cortante é só derivar e multiplicar por ( - 1 ) para saber a equação do carregamento:
  • ω = - d V d x

  • Se você tem a equação do momento fletor é só derivar para achar a equação do cortante:
  • V = d M d x

  • Caso você tenha uma equação do momento fletor é só derivar duas vezes para obter a equação do carregamento e multiplicar por ( - 1 ) :

ω = - d 2 M d x 2

Se tivermos a seguinte equação do carregamento: ω = 5 x . Repare que essa é uma equação do primeiro grau. Então, a equação do cortante será do segundo grau e a do momento fletor será de terceiro grau. Saber isso será muito útil para verificar se não cometemos nenhum erro no meio do caminho.

Use e abuse dessas relações.

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 213, 5/117

Determine as distribuições da força cortante e do momento fletor produzidos na viga pela carga concentrada. Quais são os valores do cortante e do momento em x = l / 2 ?

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Passo 1

Vamos calcular primeiro as reações de apoio no ponto A :

Pelo equilíbrio de forças verticais, temos que:

∑ F y = 0       →       R A - P = 0

R A = P

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A e considerar o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →           M A - P 2 l 3 = 0

M A = 2 P l 3

Pronto, agora já sabemos as reações de apoio.

Passo 2

Vamos agora calcular o cortante e o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte na viga um pouco infinitésimo antes de onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas sem pegar a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - V = 0

V = R A = P

No ponto A da viga temos um cortante que é devido à reação de apoio. Vamos analisar o sinal dos cortantes que temos:

Repare que eles são positivos, pois as setas estão no mesmo sentido do cortante que estabelecemos como positivo.

Agora vamos ver o momento fletor...

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = 2 l 3 :

∑ M x = 2 l 3 = 0       →           M A - R A 2 l 3 - M = 0

2 P l 3 - P 2 l 3 - M = 0       →         M = 0

Então, o momento fletor na seção que cortamos a viga é zero.

Mas no início da viga, ou seja, no ponto A existe um momento fletor que é a nossa reação de apoio devido ao engaste. Vamos analisar o seu sinal:

Repare que o nosso momento gira no sentido contrário do momento fletor que estabelecemos como positivo, então ele é negativo:

M A = - 2 P l 3

Passo 3

Agora vamos cortar a viga um infinitésimo depois do ponto onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas incluindo a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante é zero um infinitésimo depois da carga P . Isso ocorre porque toda vez que tivermos uma carga concentrada teremos descontinuidade do cortante.

O momento fletor nesta seção vai ser zero também, como já fizemos antes.

Passo 4

Agora vamos fazer analisar o que teremos no final da viga:

Aqui cortamos a viga em x = l .

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero nesta parte da viga!

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = l

∑ M x = l = 0       →           M A - R A l + P l 3 - M = 0

2 P l 3 - P l + P l 3 - M = 0       →         2 P l 3 - 2 P l 3 - M = 0

  M = 0

Então, o momento fletor no final da viga também é zero.

Passo 5

Agora temos que montar os nossos diagramas. O diagrama de cortante fica assim:

Repare que no ponto onde a carga concentrada está existe uma descontinuidade do cortante!

E o diagrama de momento fletor fica assim:

É só marcarmos os valores que achamos em cada seção que fizemos na viga e ligar os valores.

Passo 6

Agora precisamos saber quanto vale o cortante e o momento fletor em x = l / 2 .

Observando nosso diagrama, em x = l / 2 vamos ter que:

Ou seja, o cortante é:

V = P

Para saber o momento fletor vamos fazer um corte na viga em x = l / 2 :

Agora é só fazermos o somatório de momentos com relação à x = l / 2 :

∑ M x = l 2 = 0       →           M A - R A l 2 - M = 0

2 P l 3 - P l 2 - M = 0       →         M = P l 6

Agora vamos analisar o seu sinal:

Como o momento fletor que achamos gira no sentido contrário ao que consideramos como positivo, então ele é negativo:

M = - P l 6

Resposta

V = P

M = - P l 6

Exercício Resolvido #2

R. C. Hibbeler, Estática mecânica para engenharia, 10ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005, pp.286 – Ex 7.3.

As forças atuam no eixo mostrado, Determina a força normal interna nos pontos A ,   B e C .

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Passo 1

E aí, meus queridos e minhas queridas!! Olha só esse problema, perceba que ele já forneceu todas as forças externas atuantes e pede apenas o força normal interna.

Como vamos resolver isso? Bom, se o problema já nos forneceu todas as forças externas então basta fazermos as seções nos pontos dados e calcular a força axial interna:

Passo 2

Vamos começar pela seção em A :

Pessoal, reparem que o problema não pediu nem a cortante nem o momento fletor então não precisamos nos preocupar com esses valores ok!? Só com a normal mesmo, e lembra que a normal é sempre axial ao eixo.

Trazendo a equação da estática para o eixo x vamos ter:

∑ F x = 0

- 5 + N = 0

N = 5   k N

Como é positivo então temos uma força de tração, que estica a peça!

Passo 3

Vamos começar pela seção em B :

Trazendo a equação da estática para o eixo x vamos ter:

∑ F x = 0

- 5 + 4 + 4 + N = 0

N = - 3   k N

Como é negativa então temos uma força de compressão!

Passo 4

Vamos começar pela seção em C , dessa vez eu vou fazer o corte pela esquerda (que vai facilitar os cálculos). Reparem que o importante é sempre deixar a força normal para fora da peça!!

Trazendo a equação da estática para o eixo x vamos ter:

∑ F x = 0

- N + 4 = 0

N = 4   k N

Como é positiva então temos uma força de tração!

Se fizéssemos pelo outro lado então daria o mesmo resultado beleza?

Resposta

Para A :

N = 5   k N   ( t r a ç ã o )

Pra B :

N = - 3   k N   ( c o m p r e s s ã o )

Para C :

N = 4   k N   ( t r a ç ã o )

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 213-5/118

Determine o cortante V   na seção B , localizada entre A e C e o momento fletor no apoio A .

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Passo 1

Nosso primeiro passo neste tipo de questão é achar as reações de apoio e para isso temos que montar o diagrama de corpo livre:

Vamos começar nosso equilíbrio calculando o momento com relação ao ponto C , pois neste ponto temos a maior quantidade de forças que são incógnitas:

∑ M C = 0 →   1,4 4,9 + ( 1,8 ) ( 3,4 ) - A y ( 1,8 ) = 0

A y = 7,21   k N

Agora vamos fazer o somatório de forças em cada eixo. Perceba que no eixo x só temos a força C x , logo ela será nula.

∑ F x = 0   →   C x = 0

∑ F Y = 0   →   A y -   1,4 - 1,8 - C y = 0

C y = 4,01   k N

Passo 2

Nosso próximo passo é separar a viga na seção B para calcularmos o cortante:

Vamos escolher uma das partes para fazer o equilíbrio! A dica aqui é escolher a parte da viga que tem a maior quantidade de forças, no nosso caso é a parte esquerda da viga:

Mas por que isso? Porque temos que levar todas as forças do pedaço que vamos descartar para a seção da parte que escolhemos. Desse jeito aqui:

Repare que a força C y da parte da viga que descartamos foi levada para a seção B   da parte da viga que escolhemos para fazer o equilíbrio. O nosso cortante vai ser justamente a força C y que está na seção B .

Mas como fazemos para saber se esse cortante é positivo ou negativo? É só comparar com aquele esqueminha do cortante positivo que fizemos, assim:

Repare que a força C y aponta no mesmo sentido que o cortante positivo quando olhamos pela direita. Então, o cortante na seção B é:

V B =   + 4,01   k N

Passo 3

Agora temos que calcular o momento fletor no apoio A . Então, vamos ter que cortar a viga nesse ponto, assim:

Qual parte vamos escolher para fazer o equilíbrio? Aquela que tem a maior quantidade de forças!

Temos que levar para a seção desta parte que escolhemos o momento que a força C y do outro pedaço faz com relação à seção B .

Repare que para saber o sentido do momento (para onde a setinha aponta) usamos a regra da mão direita. Então, vamos calcular o valor desse momento M A :

M A = ( C y ) ( 1,8 )

M A = 4,01 1,8 → M A = 7,22   k N m

Mas como fazemos para saber se esse momento fletor é positivo ou negativo? Ele é positivo quando está tracionando a parte de baixo da viga. Mas o nosso momento traciona a parte de cima da viga, logo ele é negativo.

Se está difícil de visualizar assim, você pode comparar com o nosso esqueminha de momento fletor positivo e ver se as setinhas estão iguais ou invertidas:

Perceba que as setinhas estão invertidas, então o momento fletor no apoio A   é:

M A = - 7,22   k N m

Resposta

  V B =   + 4,01   k N

  M A = - 7,22   k N m

Exercício Resolvido #4

R. C. Hibbeler, Estática mecânica para engenharia, 10ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005, pp.286 – Ex 7.7.

Determine a força de cisalhamento e o momento nos pontos C e D .

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Passo 1

Fala aí, galera!!! Para determinarmos a força de cisalhamento e o momento fletor nos pontos C e D a gente tem que primeiro achar as resultantes em A e em B . Depois vamos fazer duas seções, onde? Exatamente nos pontos que estamos analisando A e B .

Nessas duas seções vamos aplicar as equações da estática e assim achar os esforços pedidos!

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então analisando os apoios A e B . A é um rolete, um apoio de 1° gênero, enquanto B é um pino, um apoio de 2° gênero. Dessa forma as reações nesses apoios são dadas como:

Uhulll!!! Agora é só aplicar as equações da estática:

Para as forças em x vamos ter:

∑ F x = 0

B x = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

A y - 500 - 200 + B y - 300 = 0

A y + B y = 1000

E finalmente para o momento, aplicado ao ponto A e com sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

- 500 × 6 - 200 × 14 + B y × 14 - 300 × 22 = 0

B y = 885,71   l b

Substituindo na equação em y vamos ter:

A y + 885,71 = 1000

A y = 114,29   l b

Prontinho! Temos as nossas reações.

Passo 3

Com essas reações vamos fazer um desenho do problema: