Vigas – Efeitos Internos

Teoria Completa

Introdução

Dê uma olhada na viga abaixo:

Se eu aumentar a força F continuamente, em que posição a viga deverá se quebrar?

Para responder esta pergunta, temos que estudar o que acontece internamente na viga quando aplicamos uma carga. Chamamos as forças e momentos que surgem dentro da viga de esforços ou efeitos internos.

Para entender os esforços internos, vamos pegar a viga acima, cortar ao meio e ver o que acontece na seção S .

Sempre que cortamos uma viga como fizemos nesse caso acima, temos que levar para a seção correspondente a contribuição que uma das partes faz na outra. Ou seja, temos que levar para a seção da parte 1 todas as forças da parte 2 e seus respectivos momentos:

O que fizemos neste caso foi levar a força F até a seção S e o momento que ela faz em relação a esse ponto em que cortamos a viga.

Sabendo disso, agora vamos saber quais são os esforços internos:

  • Força cisalhante ou cortante: vamos chamar essa força de V e ela é sempre paralela à seção S assim:
  • Repare que o cortante V vai ser igual à resultante de todas as forças que você leva de uma das partes até a seção S . Nesse caso do exemplo, o cortante vai ser igual à força F .

    Se você prefirir, ao invés de ficar levando as forças com seus momentos de um lado para o outro, pode fazer o equilíbrio de uma das partes como estamos acostumados. Você coloca o cortante V na seção e utiliza ∑ F = 0 para achar o seu valor, assim:

    ∑ F = 0

    V = F

    ATENÇÃO! Vamos adotar o seguinte critério: Se estivermos indo da esquerda para a direita, o cortante positivo será com a seta para baixo...e quando estivermos indo da direita para esquerda, o cortante será positivo quando a seta estiver apontando para cima.

  • Momento Fletor: é justamente a resultante de todos os momentos produzidos quando levamos as forças de uma parte até a seção S .
  • O efeito do momento fletor é dobrar a estrutura assim:

    E quando o momento fletor é positivo? Vamos considerar positivo sempre que ele estiver tracionando a parte debaixo da viga. Desse jeito aqui:

    Cuidado: para ver se o momento fletor é positivo não usamos a regra da mão direita.

  • Normal: vamos chamar esta força de N e ela sempre é perpendicular à seção S .
  • A normal será positiva quando estiver com a setinha apontando para fora da viga e quando isso acontecer dizemos que a força está tracionando a estrutura.

    E a normal será negativa quando estiver com a setinha apontando para dentro da viga e quando isso acontecer dizemos que a força está comprimindo a estrutura.

    Perceba que os esforços internos sempre ocorrem em pares iguais e de sentidos contrários.

    Vamos ver um exemplo para ficar mais claro. Queremos calcular os esforços internos na seção S da viga abaixo:

    Passo 1: Calcular as reações de apoio.

    Passo 2: Separar a viga na seção S .

    Passo 3: Escolher uma das partes e levar a contribuição da outra parte para a sua respectiva seção. Nessa etapa, é mais f��cil escolher a parte com maior quantidade de forças e momentos. Então, vou escolher a parte 1 e levar todas as forças de 10 N e 5 N da parte 2 com os seus respectivos momentos para a seção S da parte 1.

    Repare que a força de 5 N não tem momento com relação à seção S , pois estamos desprezando a altura da viga.

    Uma coisa importante e que ajuda a verificar se está tudo certinho é que cada parte tem que estar em equilíbrio.

    Passo 4: Olhar para a seção S e verificar o que é o quê.

  • Cortante: A força de 10 N é paralela à seção S , então ela corresponde ao cortante. Agora vamos comparar com aquele esqueminha para saber se é positivo ou negativo:
  • Repare que a força de 10 N está com a setinha apontando para o mesmo sentido que o cortante V positivo do nosso esquema. Então, o cortante na seção S é:

    V = + 10   N

  • Momento Fletor: o momento que está na seção S é o nosso momento fletor. Repare que a setinha empurra a parte de baixo da viga e puxa a sua parte de cima. Ele está contrário ao sentido que estabelecemos como positivo.
  • Então, nosso momento fletor será:

    M = - 60   N m

  • Normal: a força que está perpendicular à seção S será a nossa normal. E para sabermos se ela é positiva ou negativa temos que comparar com o nosso esqueminha.
  • Repare que a força de 5 N está apontando para dentro da viga e está com sentido contrário ao que estabelecemos como positivo. Então, a normal na seção S é:

    M = - 5   N

    Relações Diferenciais

    Bom, existem certas relações diferenciais entre o momento fletor, o cortante e a carga distribuída:

  • Se você tiver a equação do cortante é só derivar e multiplicar por ( - 1 ) para saber a equação do carregamento:
  • ω = - d V d x

  • Se você tem a equação do momento fletor é só derivar para achar a equação do cortante:
  • V = d M d x

  • Caso você tenha uma equação do momento fletor é só derivar duas vezes para obter a equação do carregamento e multiplicar por ( - 1 ) :

ω = - d 2 M d x 2

Se tivermos a seguinte equação do carregamento: ω = 5 x . Repare que essa é uma equação do primeiro grau. Então, a equação do cortante será do segundo grau e a do momento fletor será de terceiro grau. Saber isso será muito útil para verificar se não cometemos nenhum erro no meio do caminho.

Use e abuse dessas relações.

Diagramas de Esforço Cortante e de Momento Fletor

O diagrama de esforço cortante (DEC) nada mais é que um gráfico onde você coloca o comprimento da viga no eixo x e o valor do cortante no eixo y . Vamos ver um exemplo onde temos um cortante constante ao longo de uma viga:

O diagrama de momento fletor (DMF) também é um gráfico onde você coloca o comprimento da viga no eixo x e o valor do momento fletor no eixo y . Vamos ver um exemplo onde temos um momento que varia linearmente ao longo de uma viga:

Quando tiver que fazer o digrama de cortante e momento fletor, você precisa calcular os esforços internos em pontos-chaves da viga. E quais são esses pontos?

  • Nos apoios;
  • Onde tem uma carga pontual ou um momento concentrado;
  • Onde começa e termina uma carga distribuída.

Sempre que tem uma força concentrada em um ponto, haverá uma descontinuidade do cortante. E quando tem um momento concentrado vai ter descontinuidade do momento.

Mas o que isso significa? Para um mesmo ponto, o valor do cortante possui dois valores, ou seja, no diagrama do cortante teremos dois valores de y para um mesmo x .

E olha só, para conferir nossos cálculos a diferença entre os dois valores de cortante deverá ser exatamente o valor da carga concentrada naquele ponto. Vamos ver um exemplo:

Como teremos dois valores de cortante para um mesmo ponto? Ao fazer uma seção em um ponto onde tem uma força concentrada, não podemos dividir essa força ao meio. Então, temos que fazer uma seção um tantinho antes ou depois do ponto onde está a força. Mas é um tantinho mesmo, um infinitésimo, uma distância desprezível.

Vamos ter a mesma coisa no diagrama do momento fletor quando há um momento concentrado em algum ponto:

Partiu exercícios? Então, vamos lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 213, 5/117

Determine as distribuições da força cortante e do momento fletor produzidos na viga pela carga concentrada. Quais são os valores do cortante e do momento em x = l / 2 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos calcular primeiro as reações de apoio no ponto A :

Pelo equilíbrio de forças verticais, temos que:

∑ F y = 0       →       R A - P = 0

R A = P

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A e considerar o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →           M A - P 2 l 3 = 0

M A = 2 P l 3

Pronto, agora já sabemos as reações de apoio.

Passo 2

Vamos agora calcular o cortante e o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte na viga um pouco infinitésimo antes de onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas sem pegar a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - V = 0

V = R A = P

No ponto A da viga temos um cortante que é devido à reação de apoio. Vamos analisar o sinal dos cortantes que temos:

Repare que eles são positivos, pois as setas estão no mesmo sentido do cortante que estabelecemos como positivo.

Agora vamos ver o momento fletor...

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = 2 l 3 :

∑ M x = 2 l 3 = 0       →           M A - R A 2 l 3 - M = 0

2 P l 3 - P 2 l 3 - M = 0       →         M = 0

Então, o momento fletor na seção que cortamos a viga é zero.

Mas no início da viga, ou seja, no ponto A existe um momento fletor que é a nossa reação de apoio devido ao engaste. Vamos analisar o seu sinal:

Repare que o nosso momento gira no sentido contrário do momento fletor que estabelecemos como positivo, então ele é negativo:

M A = - 2 P l 3

Passo 3

Agora vamos cortar a viga um infinitésimo depois do ponto onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas incluindo a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante é zero um infinitésimo depois da carga P . Isso ocorre porque toda vez que tivermos uma carga concentrada teremos descontinuidade do cortante.

O momento fletor nesta seção vai ser zero também, como já fizemos antes.

Passo 4

Agora vamos fazer analisar o que teremos no final da viga:

Aqui cortamos a viga em x = l .

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero nesta parte da viga!

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = l

∑ M x = l = 0       →           M A - R A l + P l 3 - M = 0

2 P l 3 - P l + P l 3 - M = 0       →         2 P l 3 - 2 P l 3 - M = 0