Vigas – Efeitos Internos
Teoria
Introdução
Dê uma olhada na viga abaixo:
Se eu aumentar a força continuamente, essa viga irá se quebrar? O que leva ao rompimento da viga?
Para responder esta pergunta, temos que estudar o que acontece internamente na viga quando aplicamos uma carga. Chamamos as forças e momentos que surgem dentro da viga de esforços ou efeitos internos.
Para entender os esforços internos, vamos pegar a viga acima, cortar ao meio e ver o que acontece na seção .
Sempre que cortamos uma viga como fizemos nesse caso acima, temos que levar para a seção correspondente a contribuição que uma das partes faz na outra. Ou seja, temos que levar para a seção da parte 1 todas as forças da parte 2 e seus respectivos momentos:
O que fizemos neste caso foi levar a força até a seção e o momento que ela faz em relação a esse ponto em que cortamos a viga.
Sabendo disso, agora vamos saber quais são os esforços internos:
Força cisalhante ou cortante
Vamos chamar essa força de e ela é sempre paralela à seção , ou seja, vai aparecer sempre que existirem forças transversais, perpendiculares, à peça, assim:
Repare que o caso a cima traz dois exemplos nas quais o cortante é positivo. Analogamente podemos defindir também os cortantes negativos:
Lembre-se bem dessas notações de sentido, elas são bem importantes!
Além disso, que o cortante vai ser igual à resultante de todas as forças que você leva de uma das partes até a seção . Nesse caso do exemplo, o cortante vai ser igual à força .
Se você prefirir, ao invés de ficar levando as forças com seus momentos de um lado para o outro, pode fazer o equilíbrio de uma das partes como estamos acostumados. Você coloca o cortante na seção e utiliza para achar o seu valor, assim:
ATENÇÃO! Vamos adotar o seguinte critério: Se estivermos indo da esquerda para a direita, o cortante positivo será com a seta para baixo...e quando estivermos indo da direita para esquerda, o cortante será positivo quando a seta estiver apontando para cima.
Normal
A normal vai aparecer sempre que tivermos uma força axial (na direção do eixo da peça). Vamos chamar esta força de e ela sempre é perpendicular à seção .
A normal será positiva quando estiver com a setinha apontando para fora da viga e quando isso acontecer dizemos que a força está tracionando a estrutura. Ou seja, quando a peça estiver sendo tracionada (esticada) a normal é positiva!
E a normal será negativa quando estiver com a setinha apontando para dentro da viga e quando isso acontecer dizemos que a força está comprimindo a estrutura.
Perceba que os esforços internos sempre ocorrem em pares iguais e de sentidos contrários.
Momento fletor
Momento Fletor é justamente a resultante de todos os momentos produzidos quando levamos as forças de uma parte até a seção .
O efeito do momento fletor é dobrar a estrutura assim:
E quando o momento fletor é positivo? Vamos considerar positivo sempre que ele estiver tracionando a parte debaixo da viga e comprimindo a parte de cima. Desse jeito aqui:
Cuidado: para ver se o momento fletor é positivo não usamos a regra da mão direita.
Já um momento fletor negativo faz as fibras superiores tracionarem e as inferiores comprimirem:
Exemplo
Vamos ver um exemplo para ficar mais claro. Queremos calcular os esforços internos na seção da viga abaixo:
Passo 1: Calcular as reações de apoio. Para isso vamos utilizar as equações da estática:
Começando pelo eixo horizontal:
Para o eixo vertical:
E finalmente para o momento, aplicado em e com direção anti-horária positiva
Repare que, ao aplicar o momento em , temos apenas dois termos: o do próprio engaste e da força de .
Assim vamos ter:
Passo 2: Separar a viga na seção .
Passo 3: Escolher uma das partes e levar a contribuição da outra parte para a sua respectiva seção. Nessa etapa, é mais fácil escolher a parte com maior quantidade de forças e momentos. Então, vou escolher a parte 1 e levar todas as forças de e da parte 2 com os seus respectivos momentos para a seção da parte 1.
Repare que a força de não tem momento com relação à seção , pois estamos desprezando a altura da viga.
Uma coisa importante e que ajuda a verificar se está tudo certinho é que cada parte tem que estar em equilíbrio.
Passo 4: Olhar para a seção e verificar o que é o quê.
- Cortante: A força de é paralela à seção , então ela corresponde ao cortante. Agora vamos comparar com aquele esqueminha para saber se é positivo ou negativo:
- Momento Fletor: o momento que está na seção é o nosso momento fletor. Repare que a setinha empurra a parte de baixo da viga e puxa a sua parte de cima. Ele está contrário ao sentido que estabelecemos como positivo.
- Normal: a força que está perpendicular à seção será a nossa normal. E para sabermos se ela é positiva ou negativa temos que comparar com o nosso esqueminha.
- Se você tiver a equação do cortante é só derivar e multiplicar por para saber a equação do carregamento:
- Se você tem a equação do momento fletor é só derivar para achar a equação do cortante:
- Caso você tenha uma equação do momento fletor é só derivar duas vezes para obter a equação do carregamento e multiplicar por :
Repare que a força de está com a setinha apontando para o mesmo sentido que o cortante positivo do nosso esquema. Então, o cortante na seção é:
Então, nosso momento fletor será:
Repare que a força de está apontando para dentro da viga e está com sentido contrário ao que estabelecemos como positivo. Então, a normal na seção é:
Relações Diferenciais
Bom, existem certas relações diferenciais entre o momento fletor, o cortante e a carga distribuída:
Se tivermos a seguinte equação do carregamento: . Repare que essa é uma equação do primeiro grau. Então, a equação do cortante será do segundo grau e a do momento fletor será de terceiro grau. Saber isso será muito útil para verificar se não cometemos nenhum erro no meio do caminho.
Use e abuse dessas relações.
Força cisalhante ou cortante
Normal
Momento fletor
Exemplo
Relações Diferenciais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 213, 5/117
Determine as distribuições da força cortante e do momento fletor produzidos na viga pela carga concentrada. Quais são os valores do cortante e do momento em ?
Passo 1
Vamos calcular primeiro as reações de apoio no ponto
Pelo equilíbrio de forças verticais, temos que:
Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto e considerar o momento positivo girando no sentido anti-horário:
Pronto, agora já sabemos as reações de apoio.
Passo 2
Vamos agora calcular o cortante e o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte na viga um pouco infinitésimo antes de onde está a carga :
Repare que cortamos a viga em , mas sem pegar a carga !!!
Note também que surge um momento e um cortante na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:
No ponto da viga temos um cortante que é devido à reação de apoio. Vamos analisar o sinal dos cortantes que temos:
Repare que eles são positivos, pois as setas estão no mesmo sentido do cortante que estabelecemos como positivo.
Agora vamos ver o momento fletor...
Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em :
Então, o momento fletor na seção que cortamos a viga é zero.
Mas no início da viga, ou seja, no ponto existe um momento fletor que é a nossa reação de apoio devido ao engaste. Vamos analisar o seu sinal:
Repare que o nosso momento gira no sentido contrário do momento fletor que estabelecemos como positivo, então ele é negativo:
Passo 3
Agora vamos cortar a viga um infinitésimo depois do ponto onde está a carga :
Repare que cortamos a viga em , mas incluindo a carga !!!
Note também que surge um momento e um cortante na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:
Ou seja, o cortante é zero um infinitésimo depois da carga . Isso ocorre porque toda vez que tivermos uma carga concentrada teremos descontinuidade do cortante.
O momento fletor nesta seção vai ser zero também, como já fizemos antes.
Passo 4
Agora vamos fazer analisar o que teremos no final da viga:
Aqui cortamos a viga em .
Note também que surge um momento e um cortante na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:
Ou seja, o cortante continua sendo zero nesta parte da viga!
Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em
Então, o momento fletor no final da viga também é zero.
Passo 5
Agora temos que montar os nossos diagramas. O diagrama de cortante fica assim:
Repare que no ponto onde a carga concentrada está existe uma descontinuidade do cortante!
E o diagrama de momento fletor fica assim:
É só marcarmos os valores que achamos em cada seção que fizemos na viga e ligar os valores.
Passo 6
Agora precisamos saber quanto vale o cortante e o momento fletor em .
Observando nosso diagrama, em vamos ter que:
Ou seja, o cortante é:
Para saber o momento fletor vamos fazer um corte na viga em :
Agora é só fazermos o somatório de momentos com relação à :
Agora vamos analisar o seu sinal:
Como o momento fletor que achamos gira no sentido contrário ao que consideramos como positivo, então ele é negativo:
Resposta
Exercício Resolvido #2
R. C. Hibbeler, Estática mecânica para engenharia, 10ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005, pp.286 – Ex 7.3.
As forças atuam no eixo mostrado, Determina a força normal interna nos pontos e .
Passo 1
E aí, meus queridos e minhas queridas!! Olha só esse problema, perceba que ele já forneceu todas as forças externas atuantes e pede apenas a força normal interna.
Como vamos resolver isso? Bom, se o problema já nos forneceu todas as forças externas então basta fazermos as seções nos pontos dados e calcular a força axial interna:
Passo 2
Vamos começar pela seção em :
Pessoal, reparem que o problema não pediu nem a cortante nem o momento fletor então não precisamos nos preocupar com esses valores ok!? Só com a normal mesmo, e lembra que a normal é sempre axial ao eixo.
Trazendo a equação da estática para o eixo vamos ter:
Como é positivo então temos uma força de tração, que estica a peça!
Passo 3
Vamos começar pela seção em :
Trazendo a equação da estática para o eixo vamos ter:
Como é negativa então temos uma força de compressão!
Passo 4
Vamos começar pela seção em , dessa vez eu vou fazer o corte pela esquerda (que vai facilitar os cálculos). Reparem que o importante é sempre deixar a força normal para fora da peça!!
Trazendo a equação da estática para o eixo vamos ter:
Como é positiva então temos uma força de tração!
Se fizéssemos pelo outro lado então daria o mesmo resultado beleza?
Resposta
Para :
Pra :
Para :
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 213-5/118
Determine o cortante na seção , localizada entre e e o momento fletor no apoio .
Passo 1
Nosso primeiro passo neste tipo de questão é achar as reações de apoio e para isso temos que montar o diagrama de corpo livre:
Vamos começar nosso equilíbrio calculando o momento com relação ao ponto , pois neste ponto temos a maior quantidade de forças que são incógnitas:
Agora vamos fazer o somatório de forças em cada eixo. Perceba que no eixo só temos a força , logo ela será nula.
Passo 2
Nosso próximo passo é separar a viga na seção para calcularmos o cortante:
Vamos escolher uma das partes para fazer o equilíbrio! A dica aqui é escolher a parte da viga que tem a maior quantidade de forças, no nosso caso é a parte esquerda da viga:
Mas por que isso? Porque temos que levar todas as forças do pedaço que vamos descartar para a seção da parte que escolhemos. Desse jeito aqui:
Repare que a força da parte da viga que descartamos foi levada para a seção da parte da viga que escolhemos para fazer o equilíbrio. O nosso cortante vai ser justamente a força que está na seção .
Mas como fazemos para saber se esse cortante é positivo ou negativo? É só comparar com aquele esqueminha do cortante positivo que fizemos, assim:
Repare que a força aponta no mesmo sentido que o cortante positivo quando olhamos pela direita. Então, o cortante na seção é:
Passo 3
Agora temos que calcular o momento fletor no apoio . Então, vamos ter que cortar a viga nesse ponto, assim:
Qual parte vamos escolher para fazer o equilíbrio? Aquela que tem a maior quantidade de forças!
Temos que levar para a seção desta parte que escolhemos o momento que a força do outro pedaço faz com relação à seção .
Repare que para saber o sentido do momento (para onde a setinha aponta) usamos a regra da mão direita. Então, vamos calcular o valor desse momento :
Mas como fazemos para saber se esse momento fletor é positivo ou negativo? Ele é positivo quando está tracionando a parte de baixo da viga. Mas o nosso momento traciona a parte de cima da viga, logo ele é negativo.
Se está difícil de visualizar assim, você pode comparar com o nosso esqueminha de momento fletor positivo e ver se as setinhas estão iguais ou invertidas:
Perceba que as setinhas estão invertidas, então o momento fletor no apoio é:
Resposta
Exercício Resolvido #4
R. C. Hibbeler, Estática mecânica para engenharia, 10ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005, pp.286 – Ex 7.7.
Determine a força de cisalhamento e o momento nos pontos e .
Passo 1
Fala aí, galera!!! Para determinarmos a força de cisalhamento e o momento fletor nos pontos e a gente tem que primeiro achar as resultantes em e em . Depois vamos fazer duas seções, onde? Exatamente nos pontos que estamos analisando e .
Nessas duas seções vamos aplicar as equações da estática e assim achar os esforços pedidos!
Passo 2
Show de bola! Vamos começar então analisando os apoios e . é um rolete, um apoio de 1° gênero, enquanto é um pino, um apoio de 2° gênero. Dessa forma as reações nesses apoios são dadas como:
Uhulll!!! Agora é só aplicar as equações da estática:
Para as forças em vamos ter:
Para as forças em :
E finalmente para o momento, aplicado ao ponto e com sentido anti-horário positivo:
Substituindo na equação em vamos ter:
Prontinho! Temos as nossas reações.
Passo 3
Com essas reações vamos fazer um desenho do problema:
Show! Perceba que eliminamos as incógnitas referentes aos apoios! Agora é só fazermos as seções nos pontos que queremos. Vamos começar pelo ponto :
Como não existem esforços horizontais nesse problema eu nem me preocupei em colocar o efeito da normal, já que é nulo, beleza?
Continuando, agora é só fazermos a análise estática.
Para vamos ter:
Agora para o momento, aplicado em e com sentido anti-horário positivo:
Substituindo o valor da força cortante achada anteriormente:
Pronto! Para o ponto já está calculado!
Passo 4
Agora vamos fazer a mesma coisa para o ponto :
Vamos fazer a análise estática. Para vamos ter:
obs: A gente poderia ter feito pelo outro lado que iria dar menos trabalho! Veja como a cortante é igual à força que “sobrou”. Mas fiz por aqui pra te mostrar como que dá certinho!
Agora para o momento, aplicado em e com sentido anti-horário positivo:
Substituindo o valor da força cortante achada anteriormente:
Novamente poderíamos ter feito pelo outro lado e achado o mesmo valor! Mas é legal fazer pelo menos uma vez assim para ver que é verdade =D
Resposta
Para :
Para :
Exercício Resolvido #5
J.L. Meriam e L.G. Kraige,Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 213-5/121
Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga submetida a um momento em sua extremidade. Qual é o valor do momento em uma seção à direita de ?
Passo 1
Vamos começar achando as reações de apoio e para isso temos que fazer nosso diagrama de corpo livre:
Primeiro vamos calcular o momento com relação ao ponto .