Concentradores de Tensões em Flexão

Teoria Completa

Nos assuntos anteriores, você pode já ter visto como lidar com concentradores de tensões em casos de carga axial e torção.

Se sim, eu tenho uma boa notícia!

Os concentradores de tensões em flexão funcionam da mesma forma que funcionavam nesses casos anteriores.

Isto é, para descobrir as tensões máximas que ocorrem em um concentrador de tensões, você deve:

  • Identificar a seção crítica na região do concentrador (normalmente a seção menor);
  • Calcular as tensões para essa seção;
  • E, em seguida, multiplicar essas tensões por um coeficiente K , retirado de um gráfico.

Agora, caso você ainda não tenha visto como lidar com concentradores de tensões...

Estamos aqui agora para aprender!

Introdução

Vamos dizer que você têm a placa de espessura t abaixo, submetida a um certo momento fletor M F l :

Nessa placa, nós temos:

  • Uma seção inicial/maior de altura w ;
  • Uma seção final/menor de algura h ;
  • Uma redução rápida de seção entre essas seções, de acordo com o adoçamento de raio r .
  • E um momento fletor M F l aplicado, que vai gerar na placa tensões de flexão σ de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Mas aí...

Em reduções rápidas de seção como essa, ocorre um efeito chamado de concentração de tensões, que aumenta o valor das tensões nessas regiões:

Então...

Se a gente precisar calcular a tensão de flexão σ máxima nessa placa...

Como a gente faz?

Seção Crítica

A primeira coisa que podemos observar é que as tensões nessa placa são maiores na seção menor, de altura h .

Como assim?

Se olharmos para a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

...podemos ver como para um mesmo momento fletor M F l , o que determina se a intensidade da tensão σ é maior ou menor é o termo “ y / I z z ”.

Avaliando esse termo para ambas as seções dessa peça:

...vemos que ele atinge um valor máximo 6 / t w 2 para a seção maior e um valor máximo 6 / t h 2 para a seção menor.

E como w > h , temos que:

6 t w 2 < 6 t h 2

O que significa que o termo “ y / I z z ” (e consequentemente a tensão σ ) atinge valores maiores para a seção menor, de altura h .

Assim, confirmamos que, para essa região de concentração de tensões que estamos estudando, a seção crítica (aquela em que as tensões são maiores) é a seção menor.

Repare que aqui nós não calculamos o módulo de seção. Apenas fizemos uma análise para determinar qual é a seção crítica.

Coeficiente de Concentração de Tensões

Agora, simplesmente aplicar a fórmula da flexão para essa seção crítica não é o suficiente para determinar a tensão σ máxima nessa placa.

Isso porque por causa do efeito da concentração de tensões, as tensões nas regiões afetadas por esse efeito são multiplicadas por um coeficiente K .

Esse coeficiente K é chamado de coeficiente de concentração de tensões e é determinado através de gráficos específicos para cada geometria de peça.

Para uma peça como a placa acima, por exemplo, esse gráfico é assim:

Daí que, para determinar o valor de K usando esse gráfico, devemos:

1. Identificar na peça os valores das dimensões indicadas no desenho que acompanha o gráfico;

Nesse caso, devemos identificar os valores de “ w ”, “ h ” e “ r ”, conforme o desenho no canto superior do gráfico:

2. Escolher qual curva do gráfico devemos usar;

Nesse caso, para escolher essa curva, devemos calcular a razão “ w / h ” e escolher a curva correspondente:

E, finalmente:

3. Calcular a razão indicada no eixo horizontal do gráfico e encontrar o valor correspondente de K , tendo em mente a curva escolhida no passo anterior.

Como mostra a imagem abaixo, onde encontrou-se que K = 1,125 :

Fórmula da Flexão com Concentração de Tensões

Então, tendo em mente tudo o que vimos, concluímos que:

Para calcular as tensões de flexão σ máximas em uma região com concentração de tensões, basta usar a fórmula da flexão multiplicada pelo coeficiente K retirado do gráfico:

σ = - K M F l y I z z

...lembrando sempre de aplicar essa fórmula para a seção em que as tensões σ vão ser maiores, ou seja, a seção crítica.

Sendo que, na prática dos exercícios que vemos em resistência dos materiais, a seção crítica de uma região com concentração de tensões vai ser sempre a seção menor.

Para revisar tudo que vimos, vamos considerar outro exemplo:

Outro tipo de concentrador de tensões comum são as ranhuras em uma placa, como na imagem abaixo:

Daí que, para calcular as tensões de flexão σ máximas nessa placa, basta aplicar a fórmula:

σ = - K M F l y I z z

...para a seção crítica, que nesse caso vai ser a seção mais reduzida devido às ranhuras de raio r :

Sendo que para encontrar o valor do coeficiente K , devemos observar o gráfico do coeficiente K fornecido pelo exercício ou pelo livro para casos de uma placa com ranhura.

E pronto!

Aí, se você quiser ver um exercício desses na prática, é só seguir para os exercícios resolvidos:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 254 & 262-4.64.

Ranhuras semicirculares de raio r devem ser fresadas nos lados de uma barra de aço, conforme mostra a figura. Usando uma tensão admissível de 60   M P a , determine o maior momento fletor que pode ser aplicado ao elemento quando o raio r das ranhuras semicirculares for ( a ) r = 9   m m e ( b ) r = 18   m m .

Para determinação do coeficiente de concentração de tensões K , utilize o gráfico abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

Devido ao momento fletor M aplicado na peça da figura, vão surgir nas seções transversais dessa peça tensões de flexão σ de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • M (ou M F l ) é o momento fletor na seção;
  • y é a posição do ponto em que se quer avaliar a tensão em relação à linha neutra da seção;
  • & I (ou I z z ) é o momento de inércia da área da seção,

Agora...

Nesse caso do exercício, como todas as seções transversais dessa peça são retangulares, vamos ter que:

1. A linha neutra das seções dessa peça ficam bem no meio das seções:

Dessa forma, os valores máximos da posição y em relação à linha neutra (que implicam nos valores máximos da tensão σ ) são ± h / 2 .

& 2. O momento de inércia da área das seções dessa peça vai ser dado pela fórmula:

I = b h 3 12

Isso significa que a tensão σ máxima em uma seção dessa peça vai ser:

σ m á x = - M ± h / 2 ( b h 3 / 12 )

O que dá:

σ m á x = ∓ 6 M b h 2

Ou, em módulo:

σ m á x = 6 M b h 2

Daí que, vendo a nossa peça:

...vemos que as suas seções tem uma base b = 18   m m e que tensão máxima na peça vai ocorrer para a seção com as ranhuras semicirculares, onde a altura h vai ser:

h = 108   m m - 2 r

O que é menor que a altura de 108   m m das demais seções.

Agora, além disso...

Na seção das ranhuras nós ainda vamos ter um fator de concentração de tensões K devido à mudança drástica de seção transversal causada pelas ranhuras.

Por causa desse fator, a tensão máxima na seção das ranhuras (que já é a seção de tensão máxima) deve ser multiplicada por um coeficiente de concentração de tensões K .

Ou seja, para a nossa peça:

σ m á x = K 6 M b h 2

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o momento fletor M máximo que pode ser aplicado nessa peça de tal forma que as tensões na peça não superem a tensão admissível σ a d m = 60   M P a .

Ou seja, ele quer saber o momento fletor máximo que ainda satisfaz a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Daí que, substituindo a expressão que acabamos de encontrar para σ m á x :

K 6 M b h 2 ≤ σ a d m

...e isolando M , vamos encontrar que esse momento fletor máximo vai ser dado por:

M ≤ σ a d m b h 2 6 K

Aí, no item ( a ) , o exercício quer que a gente determine esse momento fletor máximo considerando que as ranhuras tem um raio r = 9   m m enquanto que no item ( b ) devemos considerar r = 18   m m .

Então, para resolver o exercício...

Devemos definir, para cada caso ( r = 9   m m e r = 18   m m ):

  • A altura h = 108   m m - 2 r da seção transversal menor da peça;
  • & o coeficiente de concentração de tensões K , que pode ser obtido através do gráfico fornecido.

Feito isso, poderemos aplicar a fórmula que desenvolvemos acima:

M ≤ σ a d m b h 2 6 K