Fórmula do Cisalhamento
Teoria
Introdução
Nos assuntos anteriores, nós vimos:
Como cargas axiais em uma peça geram nela forças internas normais e tensões normais :
E como torques em uma peça geram nela torques internos (ou momentos torsores ), que geram na peça tensões cisalhantes de acordo com a fórmula da torção:
Além disso, também vimos:
Como as cargas transversais em uma viga geram nela forças cortantes/cisalhantes e momentos fletores :
Sendo que quanto a esse momento fletor , vimos que ele gera tensões normais de acordo com a fórmula da flexão:
Então agora, só tá faltando para a gente a última peça do “quebra-cabeça” de resistência dos materiais:
Que é: como são as tensões causadas pela força cortante em uma peça?
De cara, como a própria força cortante é chamada também de força de cisalhamento, dá para concluir que essas tensões vão ser tensões cisalhantes (“tau”).
Mas como podemos descrever essas tensões ?
Exemplo
Para ilustrar essa pergunta, vamos usar um exemplo:
Vamos dizer que, em uma questão da sua prova, você precisa determinar a tensão máxima causada pela força cortante na viga em “” abaixo:
Avaliando os esforços internos nessa viga, você descobre que a força cortante máxima nela ocorre no trecho inicial, onde :
Mas e agora? 🤔
Como podemos descrever as tensões causadas por essa força cisalhante ?
Fórmula do Cisalhamento
A solução está em usar a fórmula do cisalhamento:
Essa fórmula fornece a tensão de cisalhamento causada pela força cortante em uma dada fibra de uma seção transversal:
Sendo que nessa fórmula:
- ou é o momento estático (que vamos aprender a calcular em breve!), calculado para uma certa fibra da seção;
- ou é o momento de inércia da área da seção; (Igual ao que era utilizado lá na fórmula da flexão!)
- & ou é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão :
Beleza...
Mas como a gente aplica essa fórmula na prática?
Seguindo a sequência de passos abaixo!
Entre esses passos, os dois primeiros nós já vimos lá quando estudamos a fórmula da flexão e estão resumidos no quadro abaixo:
Sendo que o momento de inércia da área de cada elemento retangular ou circular é dado pelas fórmulas:
Já os outros 3 passos são passos novos: nunca vimos eles antes.
Então vamos ver como fazê-los um a um!
Identificação das Fibras
Após determinarmos a posição da linha neutra e o momento de inércia da área para a nossa seção, o próximo passo é identificar as fibras da seção nas quais queremos calcular a tensão .
Nesse passo, as fibras importantes de serem identificadas são:
- As fibras no topo e na base da seção;
- As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
- & a fibra na linha neutra da seção.
Por exemplo, para a nossa viga em , essa identificação pode ficar assim:
Momentos Estáticos
Em seguida, calculamos os momentos estáticos ou para cada fibra identificada no passo anterior.
Para tanto, devemos fazer o seguinte:
- Observar somente a região acima OU abaixo da fibra:
- Separar a região escolhida em elementos individuais:
- Identificar, para cada um desses elementos, a área e a posição do seu centro em relação à linha neutra da seção:
- E finalmente, aplicar a fórmula (ou ) para a fibra em questão:
- A distribuição de tensões devido à força cortante é parabólica;
- E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.
Sendo que durante a resolução de um exercício, não é preciso fazer esse passo tão detalhado como nas imagens acima!
Simplesmente identificar as fibras e calcular os valores numéricos de ou para cada fibra é o suficiente, como na imagem abaixo:
Por fim, ainda existem algumas dicas sobre o momento estático ou que foram utilizadas na imagem acima e que você pode usar a vontade para facilitar a sua vida:
Aplicação da Fórmula do Cisalhamento
Finalmente, após termos calculado os momentos estáticos no passo anterior, podemos calcular as tensões nas nossas fibras.
Aqui, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento para cada fibra, tomando o cuidado de usar o momento estático ou correto e a largura da fibra ou correta.
Além disso, para as fibras onde há uma mudança de largura, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento duas vezes: uma para cada largura.
Fazendo tudo isso para o nosso exemplo da viga em e marcando esses pontos em um gráfico, teríamos algo assim:
E as tensões nos demais pontos?
Você pode indicar elas conectando os pontos do gráfico acima, tendo em mãos o conhecimento de que:
E pronto!
Conectando os pontos dessa forma, encontramos que as tensões na nossa seção ficam assim:
Aí a partir desse gráfico, você consegue reconhecer a tensão cisalhante máxima devido à força cortante na viga.
Nesse caso, vemos que a tensão máxima acontece na fibra .
Resumão
Agora você está preparado para fazer os exercícios resolvidos a seguir e mandar bem na prova!
Para te ajudar, segue um resumão dos passos para resolver esses exercícios:
Exemplo
Fórmula do Cisalhamento
Identificação das Fibras
Momentos Estáticos
Aplicação da Fórmula do Cisalhamento
Resumão
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 272&273-7.6.
A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível . Se for submetida a um cisalhamento , determine a menor dimensão de sua parte inferior e de seus lados.
Passo 1
O que está acontecendo?
A seção transversal dessa viga é retangular, com uma base e uma altura .
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
- (também conhecido como “”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
- (também conhecido como ) é o momento de inércia da área da seção;
- & (também conhecido como ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão .
Aí, como a seção dessa viga é só um retângulo, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no meio da seção:
Além disso:
- O momento de inércia da área é sempre uma constante;
- E essa seção tem uma largura constante.
Então o que vai determinar aonde vai ocorrer a tensão máxima nessa seção é o momento estático .
E nós vimos na nossa teoria que o momento estático é sempre máximo na linha neutra:
Assim, concluímos que a tensão máxima nesse seção vai ocorre na sua linha neutra.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber qual é o menor valor de necessário para que a tensão de cisalhamento máxima nessa viga não ultrapasse o seu valor admissível .
Ou seja, ele quer saber qual é o menor valor de que satisfaz a condição:
Então, para resolver esse exercício...
Devemos determinar o valor de para essa seção e depois determinar o valor do momento estático para a fibra na linha neutra.
Assim, vamos poder descrever a tensão nessa seção em função da dimensão .
Substituindo isso na condição acima, vamos poder isolar e encontrar seu valor mínimo necessário.
Passo 2
Então vamos começar pelo cálculo do momento de inércia da área para essa seção retangular.
Lembra aí!
O momento de inércia da área de um elemento retangular é dado pela fórmula:
Daí que, substituindo os valores:
- ;
- & ,
Encontramos que:
O que dá:
Beleza!
Passo 3
Em seguida, vamos determinar o valor do momento estático para a linha neutra, que é sempre o momento estático máximo em uma seção:
Agora lembra aí!
Para determinar o valor do momento estático, devemos:
- Observar somente a região acima OU abaixo da fibra;
- Separar a região escolhida em elementos individuais;
- Identificar, para cada elemento, a área e a posição do seu centro em relação à linha neutra da seção;
- E finalmente, aplicar a fórmula para a fibra em questão.
Fazendo isso para a fibra na linha neutra, e escolhendo observar a região acima dela, vamos ter um único elemento retangular, com a área e posição indicadas na imagem abaixo:
Dessa forma, vamos ter que:
O que significa que:
E pronto!
Passo 4
Agora, podemos pegar a nossa condição de projeto:
E aplicar a fórmula do cisalhamento com o objetivo de descrever a tensão máxima nessa seção.
Fazendo isso, a nossa condição fica assim:
Substituindo , e , vamos ter que:
Simplificando isso, temos:
Isolando :
Espelhando essa expressão e fazendo a raíz quadrada dos dois lados:
E substituindo:
- ;
- & ,
Encontramos que:
O que significa que o valor mínimo necessário para a dimensão é:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.10.
Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída na seção transversal da escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento .
Passo 1
O que está acontecendo?
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
- (também conhecido como “”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
- (também conhecido como ) é o momento de inércia da área da seção;
- & (também conhecido como ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão .
Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no seu meio:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente esboce um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída nessa seção.
Para fazer isso, devemos seguir os passos abaixo:
Sendo que no nosso caso, já conhecemos a posição da linha neutra, então podemos pular esse passo.
Aí, depois de aplicarmos a fórmula do cisalhamento para cada fibra, vamos poder colocar os resultados para a tensão em um gráfico e conectar esses pontos, completando o gráfico pedido pelo exercício!
Passo 2
Então vamos lá!
Primeiro, precisamos fazer o cálculo do momento de inércia da área para essa seção.
Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados:
Feito isso, calculamos:
- o momento de inércia da área ;
- a área ;
- e a distância de seu centro até a linha neutra,
...para cada um desses elementos.
Todos os elementos são retangulares, então eles vão ter áreas e momentos dados pela fórmula:
Observando as dimensões fornecidas pelo exercício, vemos que para os elementos e , temos uma base e uma altura , de tal forma que:
Já para o elemento , temos uma base e uma altura , de tal forma que:
Por fim, observando mais uma vez as dimensões fornecidas pelo exercício, encontramos as distâncias e dos centros dos elementos e à linha neutra:
E como o centro do elemento já está na própria linha neutra, vamos ter que:
Feito tudo isso, podemos finalmente aplicar a fórmula:
...para determinar o momento de inércia da área da nossa seção como um todo:
Como , e , podemos re-escrever essa fórmula assim:
Finalmente, substituindo todos os valores disponíveis acima, encontramos que:
Ou então:
Passo 3
Agora, vamos identificar as fibras que nos interessam nessa viga, que são:
- As fibras no topo e na base da seção;
- As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
- & a fibra na linha neutra da seção.
Fazendo isso, devemos ter um desenho assim:
Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para facilitar já os nossos cálculos no próximo passo.
Passo 4
Identificadas as fibras, podemos calcular os momentos estáticos delas.
Nesse momento, vão nos ajudar as dicas que vimos na teoria:
Assim, para as fibras e , no topo e na base da seção, já sabemos que elas vão ser iguais à :
Em seguida, por simetria, podemos dizer que os momentos estáticos para as fibras e vão ser iguais:
Para calcular esses momentos estáticos, podemos escolher observar a região acima da fibra .
Nessa região, vamos ter um único elemento retangular, de área e com uma posição do centro em relação à linha neutra , de tal forma que:
Por fim, para calcular o momento estático , podemos observar a região acima da fibra .
Nessa região, vamos ter:
- O mesmo elemento retangular que havia na região acima da fibra , para o qual e ;
- E um elemento retangular encostando na linha neutra, de base e altura , tendo assim uma área e uma posição .
Dessa forma, temos que:
Passo 5
Por fim, podemos aplicar a fórmula do cisalhamento:
...para cada fibra, tomando o cuidado de aplicar essa fórmula duas vezes para as fibras em que existem dois valores da largura .
(Nesse caso, temos que tomar esse cuidado para as fibras e , onde há uma mudança na largura da seção.)
Começando pelas fibras e :
Como o momento estático para essas fibras é igual à , vamos ter que:
Já para as fibras e , temos:
Substituindo os valores:
- ;
- ;
- ,
E utilizando o valor maior da largura para essas fibras, , encontramos que:
Calculando tudo isso, vamos ter um resultado final em ou :
Em seguida, utilizando o valor menor da largura para essas fibras, , encontramos que:
O que dá:
Por fim, para a fibra , temos:
E substituindo:
- ;
- ;
- ,
E a largura da seção na região da fibra , , encontramos que:
Passo 6
Finalmente, inserindo os valores de tensão encontrados no passo anterior em um gráfico, e conectando esses pontos sabendo que:
- A distribuição de tensões devido à força cortante é parabólica;
- E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.
Ficamos com o gráfico abaixo, que é a nossa resposta para o exercício:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.14.
Se a viga for submetida a um cisalhamento vertical , determine a tensão de cisalhamento máxima na viga. Calcule também o salto da tensão de cisalhamento na junção aba-alma . Trace um rascunho da variação da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção transversal.
Passo 1
O que está acontecendo?
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
- (também conhecido como “”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
- (também conhecido como ) é o momento de inércia da área da seção;
- & (também conhecido como ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber:
- A tensão de cisalhamento máxima nessa seção;
- E o salto de tensão na junção aba-alma , que é a diferença entre a tensão nessa região para a aba de largura e a tensão nessa região para a alma de largura .
Para encontrar essas duas coisas, vamos ter que esboçar um gráfico para a distribuição da tensão nessa seção, que é a terceira coisa que o exercício pede.
Aí, para fazer isso, é só seguirmos os passos abaixo:
Então vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a posição da linha neutra dessa seção.
Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados e definindo uma posição na base da seção:
Em seguida, preenchemos em uma tabela os valores da área e da posição do centro de cada elemento:
Ainda nessa tabela, também preenchemos na última coluna o produto desses valores para cada elemento e na última linha os somatórios e .
Com isso, podemos aplicar a fórmula:
E substituir os valores desses somatórios para encontrarmos a posição da nossa linha neutra:
Passo 3
Agora, já podemos calcular o momento de inércia da área da nossa seção como um todo.
Para tanto, devemos calcular, para cada elemento numerado:
- O momento de inércia da área ;
- E a distância do centro do elemento até a linha neutra.
(Não precisamos calcular as áreas pois já calculamos elas no passo anterior.)
Como os nossos dois elementos são retangulares, eles vão momentos de inércia da área .
Para o elemento , temos uma base e uma altura , então:
Já para o elemento , e , então:
Em seguida, como o elemento tem um centro a uma altura de e como a linha neutra está a uma altura de , a distância para o elemento vai ser:
Já o elemento tem um centro a uma altura de , de tal forma que:
Finalmente, podemos aplicar a fórmula:
Que fica assim para o nosso caso com dois elementos:
E substituir nessa fórmula:
- e ;
- e ; (Valores retirados da tabela do passo anterior)
- & e ,
Para encontrarmos que o momento de inércia da área da nossa seção como um todo é:
Passo 4
Próximo passo, identificar as fibras de interesse:
- As fibras no topo e na base da seção;
- As fibras onde ocorre uma mudança na largura da seção;
- E a fibra na linha neutra.
Fazendo isso, ficamos com o desenho abaixo:
Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para já facilitar os cálculos do próximo passo.
Passo 5
Agora, devemos calcular os momentos estáticos .
Para as fibras e , podemos nos lembrar que os momentos estáticos das fibras no topo e na base de uma seção são iguais a zero, então:
Para a fibra , podemos escolher por observar a região acima dessa fibra.
Fazendo isso, vamos ter nessa região um único elemento retangular: o elemento que definimos anteriormente.
Esse elemento tem uma área e um centro com uma posição relativa à linha neutra .
Dessa forma, temos que:
Já para a fibra , é mais fácil escolher por observar a região abaixo desse fibra.
Nessa região, vamos ter um único elemento retangular encostado na linha neutra com uma altura de e uma largura de .
Dessa forma, esse elemento vai ter uma área e um centro com uma posição relativa à linha neutra .
Sendo assim, temos:
Passo 6
Finalmente, já temos tudo que precisamos para aplicar a fórmula do cisalhamento:
...para cada fibra.
Para as fibras e