Fórmula do Cisalhamento

Teoria Completa

Introdução

Nos assuntos anteriores, nós vimos:

Como cargas axiais em uma peça geram nela forças internas normais N e tensões normais σ = N / A :

E como torques em uma peça geram nela torques internos T (ou momentos torsores M T ), que geram na peça tensões cisalhantes τ de acordo com a fórmula da torção:

Além disso, também vimos:

Como as cargas transversais em uma viga geram nela forças cortantes/cisalhantes V e momentos fletores M F l :

Sendo que quanto a esse momento fletor M F l , vimos que ele gera tensões normais σ de acordo com a fórmula da flexão:

Então agora, só tá faltando para a gente a última peça do “quebra-cabeça” de resistência dos materiais:

Que é: como são as tensões causadas pela força cortante V em uma peça?

De cara, como a própria força cortante V é chamada também de força de cisalhamento, dá para concluir que essas tensões vão ser tensões cisalhantes τ (“tau”).

Mas como podemos descrever essas tensões τ ?

Exemplo

Para ilustrar essa pergunta, vamos usar um exemplo:

Vamos dizer que, em uma questão da sua prova, você precisa determinar a tensão máxima causada pela força cortante na viga em “ I ” abaixo:

Avaliando os esforços internos nessa viga, você descobre que a força cortante V máxima nela ocorre no trecho inicial, onde V = 10   k N :

Mas e agora? 🤔

Como podemos descrever as tensões τ causadas por essa força cisalhante V ?

Fórmula do Cisalhamento

A solução está em usar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t       ou       τ = V S I z z b

(dependendo dos seus professores.)

Essa fórmula fornece a tensão de cisalhamento τ causada pela força cortante V em uma dada fibra de uma seção transversal:

Sendo que nessa fórmula:

  • Q ou S é o momento estático (que vamos aprender a calcular em breve!), calculado para uma certa fibra da seção;
  • I ou I z z é o momento de inércia da área da seção; (Igual ao que era utilizado lá na fórmula da flexão!)
  • & t ou b é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ :

Beleza...

Mas como a gente aplica essa fórmula na prática?

Seguindo a sequência de passos abaixo!

Entre esses passos, os dois primeiros nós já vimos lá quando estudamos a fórmula da flexão e estão resumidos no quadro abaixo:

Sendo que o momento de inércia da área I i de cada elemento retangular ou circular é dado pelas fórmulas:

Já os outros 3 passos são passos novos: nunca vimos eles antes.

Então vamos ver como fazê-los um a um!

Identificação das Fibras

Após determinarmos a posição da linha neutra e o momento de inércia da área para a nossa seção, o próximo passo é identificar as fibras da seção nas quais queremos calcular a tensão τ .

Nesse passo, as fibras importantes de serem identificadas são:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
  • & a fibra na linha neutra da seção.

Por exemplo, para a nossa viga em I , essa identificação pode ficar assim:

Momentos Estáticos

Em seguida, calculamos os momentos estáticos Q ou S para cada fibra identificada no passo anterior.

Para tanto, devemos fazer o seguinte:

  • Observar somente a região acima OU abaixo da fibra:

  • Separar a região escolhida em elementos individuais:

  • Identificar, para cada um desses elementos, a área A i e a posição y - i do seu centro em relação à linha neutra da seção:

  • E finalmente, aplicar a fórmula Q = ∑ A i y - i (ou S = ∑ A i y - i ) para a fibra em questão:
  • Sendo que durante a resolução de um exercício, não é preciso fazer esse passo tão detalhado como nas imagens acima!

    Simplesmente identificar as fibras e calcular os valores numéricos de Q ou S para cada fibra é o suficiente, como na imagem abaixo:

    Por fim, ainda existem algumas dicas sobre o momento estático Q ou S que foram utilizadas na imagem acima e que você pode usar a vontade para facilitar a sua vida:

    Aplicação da Fórmula do Cisalhamento

    Finalmente, após termos calculado os momentos estáticos no passo anterior, podemos calcular as tensões τ nas nossas fibras.

    Aqui, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento para cada fibra, tomando o cuidado de usar o momento estático Q ou S correto e a largura da fibra t ou b correta.

    Além disso, para as fibras onde há uma mudança de largura, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento duas vezes: uma para cada largura.

    Fazendo tudo isso para o nosso exemplo da viga em I e marcando esses pontos em um gráfico, teríamos algo assim:

    E as tensões τ nos demais pontos?

    Você pode indicar elas conectando os pontos do gráfico acima, tendo em mãos o conhecimento de que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

E pronto!

Conectando os pontos dessa forma, encontramos que as tensões τ na nossa seção ficam assim:

Aí a partir desse gráfico, você consegue reconhecer a tensão cisalhante τ máxima devido à força cortante V na viga.

Nesse caso, vemos que a tensão máxima τ acontece na fibra C .

Resumão

Agora você está preparado para fazer os exercícios resolvidos a seguir e mandar bem na prova!

Para te ajudar, segue um resumão dos passos para resolver esses exercícios:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 272&273-7.6.

A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 11,2   M P a . Se for submetida a um cisalhamento V = 20   k N , determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5 a de seus lados.

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Passo 1

O que está acontecendo?

A seção transversal dessa viga é retangular, com uma base b = a e uma altura h = 1,5 a .

Por causa da força cortante V = 20   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Aí, como a seção dessa viga é só um retângulo, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no meio da seção:

Além disso:

  • O momento de inércia da área I é sempre uma constante;
  • E essa seção tem uma largura t = a constante.

Então o que vai determinar aonde vai ocorrer a tensão τ máxima nessa seção é o momento estático Q .

E nós vimos na nossa teoria que o momento estático é sempre máximo na linha neutra:

Assim, concluímos que a tensão máxima τ m á x nesse seção vai ocorre na sua linha neutra.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é o menor valor de a necessário para que a tensão de cisalhamento τ máxima nessa viga não ultrapasse o seu valor admissível τ a d m = 11,2   M P a .

Ou seja, ele quer saber qual é o menor valor de a que satisfaz a condição:

τ m á x ≤ τ a d m

Então, para resolver esse exercício...

Devemos determinar o valor de I para essa seção e depois determinar o valor do momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Assim, vamos poder descrever a tensão τ m á x nessa seção em função da dimensão a .

Substituindo isso na condição τ m á x ≤ τ a d m acima, vamos poder isolar a e encontrar seu valor mínimo necessário.

Passo 2

Então vamos começar pelo cálculo do momento de inércia da área para essa seção retangular.

Lembra aí!

O momento de inércia da área de um elemento retangular é dado pela fórmula:

I = b h 3 12

Daí que, substituindo os valores:

  • b = a ;
  • & h = 1,5 a ,

Encontramos que:

I = a 1,5 a 3 12

O que dá:

I = 0,28125 a 4

Beleza!

Passo 3

Em seguida, vamos determinar o valor do momento estático Q para a linha neutra, que é sempre o momento estático máximo em uma seção:

Q l i n h a   n e u t r a = Q m á x

Agora lembra aí!

Para determinar o valor do momento estático, devemos:

  • Observar somente a região acima OU abaixo da fibra;
  • Separar a região escolhida em elementos individuais;
  • Identificar, para cada elemento, a área A i e a posição y - i do seu centro em relação à linha neutra da seção;
  • E finalmente, aplicar a fórmula Q = ∑ A i y - i para a fibra em questão.

Fazendo isso para a fibra na linha neutra, e escolhendo observar a região acima dela, vamos ter um único elemento retangular, com a área A e posição y - indicadas na imagem abaixo:

Dessa forma, vamos ter que:

Q l i n h a   n e u t r a = Q m á x = ∑ A i y - i = ( 0,75 a 2 ) ( 0,375 a )

O que significa que:

Q m á x = 0,28125 a 3

E pronto!

Passo 4

Agora, podemos pegar a nossa condição de projeto:

τ m á x ≤ τ a d m

E aplicar a fórmula do cisalhamento com o objetivo de descrever a tensão máxima τ m á x nessa seção.

Fazendo isso, a nossa condição fica assim:

V Q m á x I t ≤ τ a d m

Substituindo I = 0,28125 a 4 , Q = 0,28125 a 3 e t = a , vamos ter que:

V 0,28125 a 3 0,28125 a 4 a ≤ τ a d m

Simplificando isso, temos:

V a 2 ≤ τ a d m

Isolando a 2 :

V τ a d m ≤ a 2

Espelhando essa expressão e fazendo a raíz quadrada dos dois lados:

a ≥ V τ a d m

E substituindo:

  • V = 20   k N = 20000   N ;
  • & τ a d m = 11,2   M P a = 11,2   N / m m 2 ,

Encontramos que:

a ≥ 20000   N 11,2   N / m m 2 = 42,26   m m

O que significa que o valor mínimo necessário para a dimensão a é:

Resposta

a = 42,26   m m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.10.

Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída na seção transversal da escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento V = 15   k N .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

Por causa da força cortante V = 15   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no seu meio:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente esboce um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento τ distribuída nessa seção.

Para fazer isso, devemos seguir os passos abaixo:

Sendo que no nosso caso, já conhecemos a posição da linha neutra, então podemos pular esse passo.

Aí, depois de aplicarmos a fórmula do cisalhamento τ = V Q / I t para cada fibra, vamos poder colocar os resultados para a tensão τ em um gráfico e conectar esses pontos, completando o gráfico pedido pelo exercício!

Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, precisamos fazer o cálculo do momento de inércia da área I para essa seção.

Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados:

Feito isso, calculamos:

  • o momento de inércia da área I i ;
  • a área A i ;
  • e a distância d i de seu centro até a linha neutra,

...para cada um desses elementos.

Todos os elementos são retangulares, então eles vão ter áreas A = b h e momentos I i dados pela fórmula:

I i = b h 3 12

Observando as dimensões fornecidas pelo exercício, vemos que para os elementos 1 e 3 , temos uma base b = 120   m m e uma altura h = 12   m m , de tal forma que:

I 1 = I 3 = 120 12 3 12 = 17   280   m m 4

&

A 1 = A 3 = 120 12 = 1440   m m 2

Já para o elemento 2 , temos uma base b = 80   m m e uma altura h = 60   m m , de tal forma que:

I 2 = 80 60 3 12 = 1   440   000   m m 4

&

A 2 = 80 60 = 4800   m m 2

Por fim, observando mais uma vez as dimensões fornecidas pelo exercício, encontramos as distâncias d 1 e d 3 dos centros dos elementos 1 e 3 à linha neutra:

E como o centro do elemento 2 já está na própria linha neutra, vamos ter que:

d 2 = 0

Feito tudo isso, podemos finalmente aplicar a fórmula:

I = ∑ I i + A i d i 2

...para determinar o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + ( I 3 + A 3 d 3 2 )

Como I 1 = I 3 , A 1 = A 3 e d 1 = d 3 , podemos re-escrever essa fórmula assim:

I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

Finalmente, substituindo todos os valores disponíveis acima, encontramos que:

I = 5   207   040   m m 4

Ou então:

I = 5,207 * 10 6   m m 4

Passo 3

Agora, vamos identificar as fibras que nos interessam nessa viga, que são:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
  • & a fibra na linha neutra da seção.

Fazendo isso, devemos ter um desenho assim:

Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para facilitar já os nossos cálculos no próximo passo.

Passo 4

Identificadas as fibras, podemos calcular os momentos estáticos Q delas.

Nesse momento, vão nos ajudar as dicas que vimos na teoria:

Assim, para as fibras A e E , no topo e na base da seção, já sabemos que elas vão ser iguais à 0 :

Q A = Q E = 0

Em seguida, por simetria, podemos dizer que os momentos estáticos para as fibras B e D vão ser iguais:

Q B = Q D

Para calcular esses momentos estáticos, podemos escolher observar a região acima da fibra B .

Nessa região, vamos ter um único elemento retangular, de área A = 120 12 = 1440   m m 2 e com uma posição do centro em relação à linha neutra y - = 30 + 12 / 2 = 36   m m , de tal forma que:

Q B = Q D = ∑ A i y - i = 1440 36 = 51   840   m m 3

Por fim, para calcular o momento estático Q C , podemos observar a região acima da fibra C .

Nessa região, vamos ter:

  • O mesmo elemento retangular que havia na região acima da fibra B , para o qual A = 1440   m m 2 e y - = 36   m m ;
  • E um elemento retangular encostando na linha neutra, de base 80   m m e altura 30   m m , tendo assim uma área A = 80 30 = 2400   m m 2 e uma posição y - = 30 / 2 = 15   m m .

Dessa forma, temos que:

Q C = 1440 36 + 2400 15 = 87   840   m m 3

Passo 5

Por fim, podemos aplicar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

...para cada fibra, tomando o cuidado de aplicar essa fórmula duas vezes para as fibras em que existem dois valores da largura t .

(Nesse caso, temos que tomar esse cuidado para as fibras B e D , onde há uma mudança na largura da seção.)

Começando pelas fibras A e E :

Como o momento estático Q para essas fibras é igual à 0 , vamos ter que:

τ A = τ E = 0

Já para as fibras B e D , temos:

τ B = τ D = V Q B I t = V Q D I t