Fórmula do Cisalhamento

Teoria Completa

Introdução

Nos assuntos anteriores, nós vimos:

Como cargas axiais em uma peça geram nela forças internas normais N e tensões normais σ = N / A :

E como torques em uma peça geram nela torques internos T (ou momentos torsores M T ), que geram na peça tensões cisalhantes τ de acordo com a fórmula da torção:

Além disso, também vimos:

Como as cargas transversais em uma viga geram nela forças cortantes/cisalhantes V e momentos fletores M F l :

Sendo que quanto a esse momento fletor M F l , vimos que ele gera tensões normais σ de acordo com a fórmula da flexão:

Então agora, só tá faltando para a gente a última peça do “quebra-cabeça” de resistência dos materiais:

Que é: como são as tensões causadas pela força cortante V em uma peça?

De cara, como a própria força cortante V é chamada também de força de cisalhamento, dá para concluir que essas tensões vão ser tensões cisalhantes τ (“tau”).

Mas como podemos descrever essas tensões τ ?

Exemplo

Para ilustrar essa pergunta, vamos usar um exemplo:

Vamos dizer que, em uma questão da sua prova, você precisa determinar a tensão máxima causada pela força cortante na viga em “ I ” abaixo:

Avaliando os esforços internos nessa viga, você descobre que a força cortante V máxima nela ocorre no trecho inicial, onde V = 10   k N :

Mas e agora? 🤔

Como podemos descrever as tensões τ causadas por essa força cisalhante V ?

Fórmula do Cisalhamento

A solução está em usar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t       ou       τ = V S I z z b

(dependendo dos seus professores.)

Essa fórmula fornece a tensão de cisalhamento τ causada pela força cortante V em uma dada fibra de uma seção transversal:

Sendo que nessa fórmula:

  • Q ou S é o momento estático (que vamos aprender a calcular em breve!), calculado para uma certa fibra da seção;
  • I ou I z z é o momento de inércia da área da seção; (Igual ao que era utilizado lá na fórmula da flexão!)
  • & t ou b é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ :

Beleza...

Mas como a gente aplica essa fórmula na prática?

Seguindo a sequência de passos abaixo!

Entre esses passos, os dois primeiros nós já vimos lá quando estudamos a fórmula da flexão e estão resumidos no quadro abaixo:

Sendo que o momento de inércia da área I i de cada elemento retangular ou circular é dado pelas fórmulas:

Já os outros 3 passos são passos novos: nunca vimos eles antes.

Então vamos ver como fazê-los um a um!

Identificação das Fibras

Após determinarmos a posição da linha neutra e o momento de inércia da área para a nossa seção, o próximo passo é identificar as fibras da seção nas quais queremos calcular a tensão τ .

Nesse passo, as fibras importantes de serem identificadas são:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
  • & a fibra na linha neutra da seção.

Por exemplo, para a nossa viga em I , essa identificação pode ficar assim:

Momentos Estáticos

Em seguida, calculamos os momentos estáticos Q ou S para cada fibra identificada no passo anterior.

Para tanto, devemos fazer o seguinte:

  • Observar somente a região acima OU abaixo da fibra:

  • Separar a região escolhida em elementos individuais:

  • Identificar, para cada um desses elementos, a área A i e a posição y - i do seu centro em relação à linha neutra da seção:

  • E finalmente, aplicar a fórmula Q = ∑ A i y - i (ou S = ∑ A i y - i ) para a fibra em questão:
  • Sendo que durante a resolução de um exercício, não é preciso fazer esse passo tão detalhado como nas imagens acima!

    Simplesmente identificar as fibras e calcular os valores numéricos de Q ou S para cada fibra é o suficiente, como na imagem abaixo:

    Por fim, ainda existem algumas dicas sobre o momento estático Q ou S que foram utilizadas na imagem acima e que você pode usar a vontade para facilitar a sua vida:

    Aplicação da Fórmula do Cisalhamento

    Finalmente, após termos calculado os momentos estáticos no passo anterior, podemos calcular as tensões τ nas nossas fibras.

    Aqui, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento para cada fibra, tomando o cuidado de usar o momento estático Q ou S correto e a largura da fibra t ou b correta.

    Além disso, para as fibras onde há uma mudança de largura, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento duas vezes: uma para cada largura.

    Fazendo tudo isso para o nosso exemplo da viga em I e marcando esses pontos em um gráfico, teríamos algo assim:

    E as tensões τ nos demais pontos?

    Você pode indicar elas conectando os pontos do gráfico acima, tendo em mãos o conhecimento de que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

E pronto!

Conectando os pontos dessa forma, encontramos que as tensões τ na nossa seção ficam assim:

Aí a partir desse gráfico, você consegue reconhecer a tensão cisalhante τ máxima devido à força cortante V na viga.

Nesse caso, vemos que a tensão máxima τ acontece na fibra C .

Resumão

Agora você está preparado para fazer os exercícios resolvidos a seguir e mandar bem na prova!

Para te ajudar, segue um resumão dos passos para resolver esses exercícios:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 272&273-7.6.

A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 11,2   M P a . Se for submetida a um cisalhamento V = 20   k N , determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5 a de seus lados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A seção transversal dessa viga é retangular, com uma base b = a e uma altura h = 1,5 a .

Por causa da força cortante V = 20   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • &