Esforços Internos em Vigas

Resumo Completo

Introdução

Vamos dizer que na primeira questão da sua prova, você encontra o seguinte exercício:

O que você faz?

Talvez você já tenha estudado como resolver esse tipo de exercício, ou na sua própria disciplina de Resistência dos Materiais, ou em uma disciplina de Mecânica ou Estática.

Nesse caso, você pode pular essa teoria e resfrescar a sua memória fazendo uns exercícios resolvidos! 😉

Mas caso você não tenha visto como resolver esse tipo de exercício, ou caso você queira re-estudar essa matéria, estamos aqui para aprender a resolvê-los! 👊

Isso porque o que esse exercício pede é basicamente a primeira e maior etapa da resolução de quase todos os exercícios de flexão” e/ou “cisalhamento” em uma viga, que são exercícios que muito provavelmente vão cair na sua prova.

Então vamos lá!

Métodos da Estática

Basicamente, esse exercício que você viu aí em cima é um exercício de solicitação em vigas, em que o objetivo é determinar os esforços internos na viga (mais sobre eles depois!).

A boa noticia é que existe uma “receita” para resolver esses exercícios.

Essa receita consiste em 4 passos, que devem ser feitos um atrás do outro, que junto compõem o que chamamos de “métodos da estática”.

São eles:

  • O diagrama de corpo livre;
  • O equilíbrio;
  • A análise dos esforços internos;
  • E os diagramas de esforços internos.

Cada passo tem detalhes que precisamos aprender, então vamos ver eles um a um, começando pelo:

PASSO 1: Diagrama de Corpo Livre ou “DCL”

Nesse primeiro passo, o objetivo é trocar os apoios que existem na peça por reações (forças ou momentos aplicados na peça pelos apoios).

O primeiro tipo de apoio que existe é o engaste, que é o apoio que nós vimos no exemplo lá em cima:

O engaste significa dizer que a peça está, naquele ponto, fixa a algo rígido (normalmente uma parede).

Um engaste em um certo ponto de uma peça faz 3 tipos de reações nela: um momento M P o n t o , uma força na vertical V p o n t o e uma força na horizontal H p o n t o .

Para o nosso exemplo de um engaste no ponto A , por exemplo, devemos colocar as reações M A , V A e H A no lugar no engaste, deixando o diagrama de corpo livre assim:

Por enquanto, a gente não conhece o valor numérico dessas reações, mas tentamos, se possível, já adivinharmos o seu sentido (para onde elas apontam) na hora de fazermos o DCL.

Os outros tipos de apoio que existem são o apoio fixo e o apoio móvel, exemplificados na viga D E F abaixo:

Os apoios fixos são como um pino, que fazem no ponto em que encostam na peça uma força na vertical V p o n t o e uma força na horizontal H p o n t o .

Para o apoio fixo em D do exemplo acima, as reações ficam assim:

Já os apoios móveis são como plataformas deslizantes, que sempre só fazem na peça uma única reação: uma força R p o n t o sempre perpendicular ao chão.

Normalmente o chão é horizontal, e então a reação R p o n t o perpendicular ao chão é chamada de uma força na vertical V p o n t o . É o que acontece no apoio móvel em E do nosso exemplo acima:

Mas, às vezes, o chão em um apoio móvel é inclinado. Nesse caso, a reação R p o n t o perpendicular ao chão deve ser chamada dessa forma mesmo, como no exemplo abaixo:

Aí...

Uma vez que você já tiver desenhado a sua peça com reações no lugar dos apoios (esse desenho é o tal diagrama de corpo livre da peça), você pode seguir para o:

PASSO 2: Equilíbrio

Aqui, o objetivo é aplicar as condições de equilíbrio na peça: equações que nos permitem descobrir quais são os valores necessários para as reações em uma peça para que essa peça fique em equilíbrio.

Existem 3 condições de equilíbrio que nós usamos, que são:

  • O equilíbrio de forças na vertical, F V = 0 ;
  • O equilíbrio de forças na horizontal, F H = 0 ;
  • E o equilíbrio de momentos em relação à algum ponto da barra, M = 0 .

Nessas três equações, nós temos sempre um somatório de forças ou momentos que devem ser iguais à zero.

Basicamente, o que essas equações estão dizendo é que a força resultante e o momento resultante na peça devem ser nulos.

Aí, para fazer esses somatórios, podemos trabalhar com forças e momentos igual trabalhávamos lá na física:

  • O somatório de forças na vertical, por exemplo, pode ser feito somando as componentes verticais de todas as forças na peça, tendo em mente o sentido de cada uma;
  • E o somatório de momentos pode ser feito somando os momentos M já aplicados em uma peça com todos os momentos que as forças na peça geram em relação a um certo ponto escolhido, tendo em mente o braço de cada força.

Forças Distribuídas

Normalmente, a parte mais difícil dessa etapa de equilíbrio é trabalhar com forças distribuídas.

Elas são forças que agem ao longo de um dado comprimento, e, assim, tem unidades N / m (newtowns por metro) ou similar, ao invés da unidade usual de uma força concentrada, que é N (newtons).

Um exemplo é a força do nosso exemplo inicial, que ainda varia linearmente entre 10   N / m e 20   N / m ao longo de seu comprimento:

Aqui, o segredo é trocar a força distribuída “ w ” por uma força equivalente (ou duas, no caso de uma distribuição trapezoidal), como mostra a imagem abaixo:

PASSO 3: Análise dos Esforços Internos

Depois de descobrir o valor das reações desconhecidas na sua peça através do equilíbrio, o próximo passo é a análise dos esforços internos.

Nela, o objetivo é descrever os esforços internos na sua peça: as forças e momentos que atuam dentro da peça, no material dela.

E como que a gente faz isso? 🤔

Fazendo seções na peça, desenhando os esforços que atuam nessas seções e aplicando o equilíbrio para descobrir o valor desses esforços.

Vamos entender isso por partes...

i. Fazendo seções na peça

Aqui, precisamos identificar todas as descontinuidades que existem na peça.

Uma descontinuidade pode ser o início ou o final da peça, uma força ou momento concentrado, ou o início ou final de uma força distribuída.

Na nossa viga A B C , por exemplo, temos descontinuidades em A , em B e em C :

O que isso significa é que precisamos fazer seções entre esses pontos de descontinuidade.

Nesse exemplo acima, por exemplo precisamos fazer um desenho para analisar os esforços internos nas seções entre A e B e outro desenho para as seções entre B e C .

Aí, ao fazer essas “seções”, nós podemos escolher qual lado da viga queremos manter e qual lado da viga queremos descartar.

Se escolhermos manter o lado esquerdo da viga para as seções entre A e B e o lado direito da viga para as seções entre B e C , essas seções ficam assim:

Agora, depois de fazer essas seções/desenhos acima, ainda precisamos definir um eixo (normalmente o eixo x ) de referência e indicar os intervalos de x para o qual aquele desenho vale:

ii. Desenhando os esforços que atuam nessas seções

Aqui, nós vamos ter 3 tipos de esforços internos:

  • A força normal N , perpendicular à seção, que deve ser desenhada apontando para fora da peça:
  • A força cortante V , paralela à seção, que deve ser desenhada para cima quando estiver à esquerda da peça e para baixo quando estiver à direita, como se ela quisesse fazer a peça girar no sentido horário:
  • E o momento fletor M F l , que deve ser desenhado como se ele quisesse comprimir a parte superior da peça ou da viga e esticar a parte inferior:

Dessa forma, os desenhos das nossas seções ficam assim:

iii. Aplicando o equilíbrio para descobrir o valor desses esforços

Feitos os desenhos acima, a última etapa da análise dos esforços internos está em aplicar as condições de equilíbrio ( F V = 0 , F H = 0 e M = 0 ) para cada um desses desenhos.

Assim, vamos conseguir descrever o valor dos esforços internos N , V e M F l na peça como funções N ( x ) , V ( x ) e M F l ( x ) da posição x da seção em que esses esforços atuam.

PASSO 4: Diagramas de Esforços Internos ou “DEI”

Por fim, o último passo é pegar as funções N ( x ) , V ( x ) e M F l ( x ) que foram encontradas na análise dos esforços internos e plotar elas em gráficos chamados de diagramas de esforços internos.

Na hora de plotar esses gráficos, é importante verificar coisas como:

  • O valor das funções N ( x ) , V ( x ) e M F l ( x ) no início e fim de cada intervalo de seções utilizados na análise dos esforços internos;
  • A linearidade ou concavidade dessas funções;
  • E os pontos críticos (pontos de máximo ou de mínimo) dessas funções.

Se fosse para resolver o exercício do início por completo, os seus diagramas de esforços internos ficariam assim:

Finalização

Feitos os quatro passos acima, aí você consegue responder o que o exercício tiver pedido sobre os esforços internos na peça.

Para o exercício da viga A B C , por exemplo, que queria saber o momento fletor M F l e a força cortante V máximas nessa viga, podemos recorrer aos diagramas de esforços internos acima.

Desses diagramas, vemos que o valor máximo, em termos absolutos, do momento fletor é M F l = - 210   N * m e da força cortante é V = 45   N .

Agora...

Assim, na teoria, já dá pra entender um pouco como resolver esses exercícios.

Mas se você quiser ficar craque mesmo, aí é só fazer os exercícios resolvidos a seguir!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 336-5.3.

Para a viga e carregamento mostrados, a trace os diagramas de força cortante e momento fletor e ( b ) determine as equações das curvas de força cortante e momento fletor.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício quer que a gente:

  • Determine as equações que descrevem a força cortante V e o momento fletor M F l para a viga mostrada;
  • E esboce os diagramas de força cortante e momento fletor a partir dessas equações.

Como sempre em um exercício desse tipo, o primeiro passo é fazer o:

Nesse caso, tendo em mente:

  • Que no engaste em C , nós vamos ter uma reação na vertical V C , uma reação na horizontal H C e um momento M ;
  • E que, como não há nenhuma outra força horizontal nessa viga, a reação na horizontal H C vai ser nula/inexistente,

...o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Passo 2

Feito o DCL, podemos seguir para o próximo passo que é o:

Aqui, temos duas condições de equilíbrio que podemos aplicar:

  • O equilíbrio de forças na vertical;
  • E o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

F V = 0

E realizando esse somatório, encontramos que:

V C - P - P = 0

V C = 2 P

Em seguida, aplicamos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C :

M C = 0

Fazendo esse somatório:

  • Sabendo que as forças P vão gerar momentos com braços 2 a e a em relação ao ponto C ;
  • Sabendo que a força V C não vai gerar nenhum momento em relação ao ponto C ;
  • E considerando que os momentos positivos ( + ) são aqueles no sentido anti-horário,

...encontramos que:

P * 2 a + P * a - M = 0

M = 3 P a

Passo 3

Agora que já conhecemos todos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na nossa viga, podemos seguir para a:

Existem descontinuidades (nesse caso, forças e momentos concentrados) nos pontos A , B e C dessa viga.

Então devemos analisar as seções entre A e B e as seções entre B e C dessa viga.

Usando um eixo x começando no ponto A e sabendo que não haverá nenhum esforço interno normal nessa viga (uma vez que não há nenhuma força na horizontal), essa análise fica assim:

Agora, para terminar a análise, precisamos aplicar as condições de equilíbrio em cada situação.

Para as seções entre A e B ( 0 < x < a ) , temos o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Que nos diz que:

- P - V = 0

V = - P

E também temos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

M = 0

Que nos diz que:

P x + M F l = 0

M F l = - P x

Já para as seções entre B e C ( a < x < 2 a ) , o equilíbrio de forças na vertical fica assim:

F V = 0

- P - P - V = 0

V = - 2 P

Enquanto que o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção fica assim:

M = 0

P x + P x - a + M F l = 0

M F l = - 2 P x + P a

Com o que fizemos até aqui, já conseguimos responder a letra ( b ) da questão, mas ainda falta os diagramas da força cortante V e do momento fletor M F l para respondermos a letra ( a ) !

Passo 4

Por fim, chegamos ao último passo, que são os:

Para a força cortante V , temos que ela vale - P quando 0 < x < a e que ela vale - 2 P quando a < x < 2 a .

Dessa forma, o diagrama da força cortante V fica assim:

Quanto ao momento fletor M F l , ele é descrito por duas equações de primeiro grau de x :

M F l x = - P x ,   p a r a   0 < x < a e - 2 P x + P a ,   p a r a   a < x < 2 a

De acordo com a primeira equação, M F l 0 = 0 e M F l a = - P a , enquanto que de acordo com a segunda equação, M F l ( a ) também é igual à - P a e M F l 2 a = - 3 P a .

Como as equações que descrevem o momento fletor são de primeiro grau, as linhas que conectam esses pontos ( M F l 0 = 0 , M F l a = - P a e M F l 2 a = - 3 P a ) no diagrama de momento fletor são retas.

Dessa forma, o diagrama do momento fletor M F l fica assim:

E pronto!

Com esses diagramas dos esforços internos, respondemos ao item ( a ) e finalizamos o exercício.

Resposta

a   Ver diagramas acima.

b   V x = - P ,   p a r a   0 < x < a e - 2 P ,   p a r a   a < x < 2 a

&

M F l x = - P x ,   p a r a   0 < x < a e - 2 P x + P a ,   p a r a   a < x < 2 a

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 348-5.44.

Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura, e determine o valor máxima absoluto ( a ) da força cortante e ( b ) do momento fletor.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício quer que a gente esboce os diagramas e determine os valores máximos da força cortante V e do momento fletor M F l na viga A C D B da figura.

Como sempre, começamos um exercício desse tipo fazendo o:

No caso desse exercício, temos que pensar o que as forças de 120   N nos pontos E e F vão gerar na viga principal A C D B .

Os pontos E e F estão conectados à viga pelos pontos C e D , então as forças de 120   N vão atuar nos pontos C e D da viga.

Mas como existe uma distância horizontal de 60   m m entre os pontos E e C e entre os pontos F e D , as forças de 120   N também vão gerar um momento concentrado de...

120   N 60   m m = 7200   N * m m = 7,2   N * m

...nos pontos C e D da nossa viga.

Tendo isso em mente, e sabendo:

  • Que o apoio móvel em B vai realizar somente uma reação “ V B ” na vertical;
  • E que o apoio fixo em A vai realizar uma reação “ H A ” na horizontal (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do diagrama de corpo livre) e uma reação “ V A ” na vertical,

...o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Passo 2

Feito o DCL, o próximo ingrediente ou passo da nossa resolução é o:

Aqui, temos duas condições de equilíbrio que podemos aplicar:

  • O equilíbrio de forças na vertical;
  • E o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

F V = 0

E realizando esse somatório, encontramos que:

V A - 120 - 120 + V B = 0

V A + V B = 240   N

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

M A = 0

Em relação à esse ponto, vamos ter os seguintes momentos atuando:

  • O momento no sentido anti-horário ( + ) gerado por V B com um braço de 720   m m = 0,72   m ;
  • Os momentos no sentido horário ( - ) gerados pelas forças de 120   N em C e em D , com braços de 240   m m = 0,24   m e 480   m m = 0,48   m , respectivamente;
  • E os momentos concentrados em C e em D de 7,2   N * m .

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

0,72 V B - 0,24 120 - 0,48 120 - 7,2 - 7,2 = 0

Isolando V B , encontramos que:

V B = 140   N

E, substituindo esse valor na expressão V A + V B = 240   N que encontramos anteriormente, encontramos que:

V A = 100   N

Passo 3

Agora que já conhecemos todos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na nossa viga, podemos seguir para o próximo ingrediente de uma boa resolução, que é a:

Existem descontinuidades (nesse caso, forças e momentos concentrados) nos pontos A , C , D e B dessa viga.

Então temos que analisar os esforços internos nas seções entre A e C , nas seções entre C e D e nas seções entre D e B da viga:

Feitos esses desenhos, precisamos aplicar as condições de equilíbrio em cada situação para terminar a análise.

Para as seções entre A e C ( 0 < x < 0,24   m ) , temos o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Que nos diz que:

V A - V = 0

V = V A = 100   N

E também temos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

M = 0

Que nos diz que:

- V A x + M F l = 0

Isolando M F l e substituindo V A = 100   N , encontramos que:

M F l = V A x = 100 x

Em seguida, para as seções entre C e D ( 0,24   m < x < 0,48   m ) , o equilíbrio de forças na vertical fica assim:

F V = 0

V A - 120 - V = 0

Isolando V e substituindo V A = 100   N , encontramos que:

V = V A - 120 = 100 - 120

V = - 20   N

E o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção fica assim:

M = 0

- V A x - 7,2 + 120 ( x - 0,24 ) + M F l = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V A x + 7,2 - 120 x - 0,24

Substituindo V A = 100   N e fazendo a distributiva em “ - 120 x - 0,24 ”, temos:

M F l = 100 x + 7,2 - 120 x + 28,8

O que significa que:

M F l = 36 - 20 x

Por fim, para as seções entre D e B , o equilíbrio de forças fica assim:

F V = 0

V + V B = 0

O que nos diz que:

V = - V B = - 140   N

Enquanto que o equilíbrio de momentos fica assim:

M = 0

V B 0,72 - x - M F l = 0

Isolando M F l e substituindo V B = 140   N , temos que:

M F l = ( 140 ) ( 0,72 - x )

Fazendo a distributiva, isso nos diz que:

M F l = 100,8 - 140 x

E assim terminamos a análise dos esforços internos!

Passo 4

Mas espera, ainda faltam os:

Bora lá fazer eles!

Encontramos no passo anterior que, nos diferentes trechos da nossa viga, a força cortante V assume os valores V = 100   N , V = - 20   N e V = - 140   N .

Então o diagrama da força cortante fica assim:

E desse diagrama, ainda observamos que o valor máximo absoluto V m á x da força cortante é:

V m á x = 140   N

Em seguida, para o momento fletor M F l , temos 3 equações.

De acordo com a primeira:

M F l = 100 x  para  0 < x < 0,24   m ,

...o momento fletor varia linearmente entre M F l 0 = 0 e M F l 0,24 = 100 0,24 = 24   N * m .

De acordo com a segunda:

M F l = 36 - 20 x  para  0,24   m < x < 0,48   m ,

...o momento fletor varia linearmente entre M F l 0,24 = 36 - 20 0,24 = 31,2   N * m e M F l 0,48 = 36 - 20 0,48 = 26,4   N * m .

E, por fim, de acordo com a terceira:

M F l = 100,8 - 140 x  para  0,48   m < x < 0,72   m ,

...o momento fletor varia linearmente entre M F l 0,48 = 100,8 - 140 0,48 = 33,6   N * m e M F l 0,72 = 100,8 - 140 0,72 = 0 .

Dessa forma, o diagrama do momento fletor fica assim:

E desse diagrama, ainda observamos que o valor máximo absoluto M F l m á x do momento fletor é:

M F l m á x = 33,6   N * m

E pronto!

Finalizamos assim o exercício e o resultado de todo esse trabalho é um:

Resposta

a   V m á x = 140   N

b   M F l m á x = 33,6   N * m

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 200-6.38.

Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício quer que a gente esboce os diagramas da força cortante V e do momento fletor M F l para a viga da figura.

Devemos resolver esses exercício da mesma forma que resolvemos outros exercícios parecidos:

  • Fazendo um diagrama de corpo livre da viga;
  • Aplicando as condições de equilíbrio na viga;
  • Realizando uma análise dos esforços internos nela;
  • E, finalmente, esboçando os diagramas de força cortante e momento fletor,

...mas dessa vez, temos a dificuldade adicional de lidar com essa força distribuída com o formato trapezoidal visto na imagem.

Então vamos começar pelo primeiro passo, que é o:

Nesse caso, tendo em mente:

  • Que no engaste em B , nós vamos ter uma reação na vertical V B , uma reação na horizontal H B e um momento M ;
  • E que, como não há nenhuma outra força horizontal nessa viga, a reação na horizontal H B vai ser nula/inexistente,

...o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Passo 2

Feito o DCL, podemos seguir para o próximo passo que é o:

Aqui, podemos aplicar o equilíbrio de forças na horizontal e o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Antes de fazer esses cálculos, é útil entender como a carga distribuída vai afetar a viga.

Para facilitar esse entendimento, podemos dividir a carga distribuída em duas cargas distribuídas menores:

A primeira vai ser constante, com valor de 12   k N / m , e vai agir como uma força equivalente de 12   k N / m 3   m = 36   k N bem no meio da viga.

A segunda vai ser triangular: ela vai variar linearmente entre 0   k N / m e 6   k N / m entre os pontos A e B .

Ela vai agir como uma força equivalente de:

6   k N / m 3   m 2 = 9   k N

...que vai estar localizada na centroide do triângulo, a 1 / 3 do comprimento de 3   m da viga a partir do ponto B .

Essas forças equivalentes estão representadas na figura abaixo, nas cores laranja e verde, respectivamente:

Tendo em mente essas forças equivalentes, podemos agora aplicar o equilíbrio de forças na horizontal:

F V = 0

V B - 36   k N - 9   k N = 0

Que nos diz que:

V B = 45   k N

E o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B :

M B = 0

9   k N 1   m + 36   k N 1,5   m - M = 0

Que nos diz que:

M = 63   k N * m

Passo 3

Agora que conhecemos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na viga, podemos seguir para a:

Para essa viga, só precisamos fazer uma seção para analisar os esforços internos ao longo de todo o comprimento de 3   m da viga.

(Isso porque essa viga só possui descontinuidades nas suas extremidades A e B .)

Fazendo essa seção, devemos ficar com um desenho semelhante ao desenho abaixo:

Observe como nesse desenho, tivemos que indicar uma equação que descrevesse o valor máximo da força dependendo da posição x ( 0 < x < 3   m ) que queremos avaliar.

Para encontrar essa equação, podemos dizer que a força distribuída do exercício, que varia linearmente, é dada por uma função linear:

w x = a x + b

Aí, sabendo que a força distribuída tem o valor de 12 para x = 0 :

w 0 = a * 0 + b = 12

...encontramos que:

b = 12

E sabendo que para x = 3   m , ela tem o valor de 18 :

w 3 = a * 3 + b = 18

...encontramos que:

a = 2

De tal forma que w x = a x + b é dado por:

w x = 2 x + 12

...ou ( 12 + 2 x ) , como está no desenho! :)

Agora...

Para terminar a análise, precisamos aplicar as condições de equilíbrio na viga secionada para encontrar o valor dos esforços internos V e M F l .

Mais uma vez, para aplicar essas condições de equilíbrio, é útil imaginar a força distribuída como duas forças distribuídas menores:

A primeira constante, igual à 12 , que atua como uma força equivalente ( 12 ) ( x ) bem no meio dessa seção de viga de comprimento x .

E a segunda triangular, igual à 2 x , que atua como uma força equivalente 2 x x / 2 = x 2 no centroide do triângulo, localizado à 1 / 3 de distância da seção:

Com essas forças equivalentes em mente, conseguimos aplicar o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

- 12 x - x 2 - V = 0

Que nos diz que:

V = - x 2 - 12 x

E o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção

M = 0

M F l + x 2 x 3 + 12 x x 2 = 0

Que nos diz que:

M F l = - x 3 3 - 6 x 2

Passo 4

Por fim, chegamos ao último passo, que são os:

Para a força cortante V , nós temos uma função quadrática V x = - x 2 - 12 x :

  • Com uma concavidade para baixo; (uma vez que a sua segunda derivada é negativa)
  • E que varia de V 0 = 0 até V 3   m = - 45   k N .

Dessa forma, o seu diagrama fica assim:

Já para o momento fletor M F l , nós temos uma função de 3º grau M F l x = - ( x 3 / 3 ) - 6 x 2 :

  • Com uma concavidade para baixo para valores de x maiores que 0 ; (uma vez que a sua segunda derivada é negativa para esses valores de x )
  • E que varia de M F l 0 = 0 até M F l 3   m = - 63   k N * m .

Sendo assim, vamos ter um o seguinte diagrama para o momento fletor:

Resposta

Ver diagramas acima.

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 199-6.31.

A viga T está sujeita ao carregamento mostrado. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício quer que a gente esboce os diagramas da força cortante V e do momento fletor M F l na viga da figura.

Como sempre, o primeiro elemento de uma resolução de um exercício desse tipo é o:

Nesse caso:

  • O apoio móvel em A vai realizar somente uma reação V A na vertical;
  • E o apoio fixo em B vai realizar uma reação H B na horizontal (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do diagrama de corpo livre) e uma reação V B na vertical.

Dessa forma, o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Passo 2

Feito o DCL, podemos seguir para o próximo elemento da resolução, que é o:

Aqui, podemos aplicar:

  • O equilíbrio de forças na vertical;
  • E o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

F V = 0

Para fazer esse somatório de forças, precisamos da força equivalente à carga distribuída de 3   k N / m .

Como ela está distribuída ao longo de um comprimento de 3   m , temos que a sua força equivalente vai ser:

3   k N / m 3   m = 9   k N

Dessa forma, o somatório de forças fica assim:

V A + V B - 10   k N - 9   k N = 0

O que significa que:

V A + V B = 19   k N

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B :

M B = 0

Em relação ao ponto B , vamos ter:

  • Um momento no sentido anti-horário ( + ) gerado pela distribuição uniforme de 3   k N / m , que age com uma força equivalente de 9   k N no meio da região da distribuição, tendo um braço de 1,5   m em relação ao ponto B , como mostra a imagem abaixo:
  • Um momento no sentido horário ( - ) gerado por V A com um braço de 6   m ;
  • E um momento no sentido anti-horário ( + ) gerado pela força de 10   k N com um braço de 8   m .

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

9   k N 1,5   m - V A 6   m + 10   k N 8   m = 0

Isolando V A , encontramos que:

V A = 15,58   k N

E, substituindo isso na expressão V A + V B = 19   k N que encontramos anteriormente, encontramos que:

V B = 3,42   k N

Passo 3

Agora que conhecemos todos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na nossa viga, podemos seguir para o próximo elemento da resolução, a:

Na nossa viga, existem descontinuidades (nesse caso, forças concentrados ou o início ou fim de forças distribuídas) nos pontos C , A e D e B .

Então devemos analisar as seções entre C e A , as seções entre A e D e as seções entre D e B :

Em seguida, para terminar a análise, precisamos aplicar as condições de equilíbrio para cada situação.

Para as seções entre C e A ( 0 < x < 2   m ) , o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

...nos diz que:

- 10 - V = 0

V = - 10   k N

Enquanto que o equilíbrio de momentos:

M = 0

...nos diz que:

10 x + M F l = 0

M F l = - 10 x

Show!

1ª situação analisada!

Já para as seções entre A e D ( 2   m < x < 5   m ) , o equilíbrio de forças na vertical fica assim:

F V = 0

- 10 + V A - V = 0

Isolando V e substituindo V A = 15,58   k N , temos que:

V = V A - 10 = 15,58 - 10

V = 5,58   k N

Enquanto que o equilíbrio de momentos fica assim:

M = 0

10 x - V A x - 2 + M F l = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V A x - 2 - 10 x

Substituindo V A = 15,58   k N e fazendo a distributiva, obtemos que:

M F l = 15,58 x - 2 - 10 x = 15,58 x - 31,16 - 10 x

O que significa que:

M F l = 5,58 x - 31,16

Pronto!

2ª situação analisada!

Por fim, para as seções entre D e B ( 5   m < x < 8   m ) , o equilíbrio de forças fica assim:

F V = 0

V + V B - 3   k N / m 8   m - x = 0

Isolando V , temos:

V = 3 8 - x - V B

Fazendo a distributiva e substituindo V B = 3,42   k N , encontramos que:

V = 24 - 3 x - 3,42

V = 20,58 - 3 x

Quanto ao equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

M = 0

...precisamos perceber que a força distribuída de 3   k N / m vai gerar um momento no sentido horário ( - ) com uma força equivalente de 3   k N / m 8   m - x e um braço de 8   m - x / 2 .

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

V B 8   m - x - M F l - 3   k N / m 8   m - x 8   m - x 2 = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V B 8 - x - 3 8 - x 2 2

Desenvolvendo essa expressão e substituindo V B = 3,42   k N , temos:

M F l = 3,42 8 - x - 3 64 - 16 x + x 2 2

M F l = 27,36 - 3,42 x - 96 + 24 x - 3 2 x 2

Arrumando isso, encontramos que:

M F l = - 3 2 x 2 + 20,58 x - 68,64

Rá!

3ª Situação Analisada! Terminamos a análise dos esforços internos.

Passo 4

Por fim, chegamos ao último elemento da resolução, que são os:

Para a força cortante V , temos:

  • Que ela é de - 10   k N quando 0 < x < 2   m ;
  • Que ela é de 5,58   k N quando 2   m < x < 5   m ;
  • E que ela segue a equação V ( x ) = 20,58 - 3 x quando 5   m < x < 8   m , variando linearmente entre V 5   m = 20,58 - 3 5 = 5,58   k N e V 8   m = 20,58 - 3 8 = - 3,42   k N .

Dessa forma, o diagrama da força cortante V fica assim:

Para o momento fletor M F l , temos que:

  • Ele varia linearmente de acordo com a equação M F l x = - 10 x entre os pontos M F l 0 = 0 e M F l 2   m = - 20   k N * m ;
  • Ele varia linearmente de acordo com M F l = 5,58 x - 31,16 entre os pontos M F l 2   m = - 20   k N * m e M F l 5   m = - 3,26   k N * m ;
  • E que ele varia de acordo com a função quadrática M F l ( x ) = - ( 3 / 2 ) x 2 + 20,58 x - 68,6 entre os pontos M F l 5   m = - 3,26   k N * m e M F l 8   m = 0 .

Para completar o diagrama de momento fletor, é interessante saber qual é o valor máximo ou mínimo de M F l quando ele varia de acordo com a função quadrática no trecho 5   m < x < 8   m .

Para tanto, podemos derivar e igualar à zero a função quadrática M F l ( x ) = - ( 3 / 2 ) x 2 + 20,58 x - 68,6 :

d - ( 3 / 2 ) x 2 + 20,58 x - 68,6 d x = - 3 x + 20,58 = 0

Isolando x nessa expressão acima, conseguimos descobrir o ponto de máximo ou mínimo da função quadrática:

3 x = 20,58

x = 20,58 3 = 6,86   m

Substituindo esse valor na função quadrática, conseguimos calcular o seu valor de máximo ou mínimo:

M F l 6,86   m = - 3 2 6,86 2 + 20,58 6,86 - 68,6

M F l 6,86   m = 1,99   k N * m

Sabendo disso, podemos finalmente esboçar o nosso diagrama completo do momento fletor:

Resposta

Ver diagramas acima.

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

A barra da figura está engastada e sujeita ao carregamento mostrado abaixo, usando seus conhecimentos sobre esforços internos em vigas, determine as equações do cortante e do momento fletor para cada um dos trechos da barra.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos que o nosso passo a passo para solucionar exercícios de diagrama de cortantes e momentos fletores seguem 4 passos

Primeiro fazemos o diagrama de corpo livre e determinamos as reações de apoio

Em segundo lugar dividimos a barra para calcularmos as equações

Em terceiro calculamos as equações

E por fim o quarto passo é determinar o nosso diagrama.

Como nesse caso a única coisa que é pedida são as equações, iremos apenas até o terceiro passo.

Mas uma pergunta que você pode se fazer é, quantas equações devemos fazer?

Para saber isso você analisa pontos em que ocorrem mudanças de carregamento, olhando a nossa figura teremos que

No trecho AB temos um carregamento constante, mas em B temos uma carga concentrada, logo temos uma mudança entre os trechos AB e BC, e no ponto C também temos uma carga concentrada, logo entre BC e CD também temos uma mudança.

Logo teremos uma equação entre AB, entre BC e entre CD. Ao todo então serão 3 equações.

Passo 2

Vamos lá então, como vimos o primeiro passo é determinar o diagrama de corpo livre e as reações de apoio, olhando a nossa barra teremos que

F = 0

V a - 20 - 15 - 30 - 10 1,5 + 0,8 + 1,1 = 0

V a = 99   K N

M a = 0

M a - 20   .   1,5 - 15   .   1,5 + 0,8 - 30   .   1,5 + 0,8 + 1,1 - 34 1,5 + 0,8 + 1,1 2 = 0

M a = 224,3   K N . m

Logo teremos que

Passo 3

Agora precisamos cortar cada trecho da nossa peça, lembrar da nossa utilização de sinais e fazer o equilíbrio da peça.

Os sinais analisados devem ser

E cortando os trechos teremos

Para o trecho AB

Para o trecho BC

Para o trecho CD

Passo 4

Agora vamos fazer o terceiro passo, que é exatamente fazer o equilíbrio da peça para calcular as equações.

Para o trecho AB teremos

Para o cortante teremos que

V a - V - 10 x = 0

99 - V - 10 x = 0

V = 99 - 10 x

E para o momento fletor teremos que

M a + M F l + 10 . x . x 2 - 99 . x = 0

224,3 + M F l + 10 . x . x 2 - 99 . x = 0

M F l = - 5 x 2 + 99 x - 224,3

Para o trecho BC teremos

Para o cortante teremos que

V a - V - 10 x - 20 = 0

99 - V - 10 x - 20 = 0

V = 79 - 10 x

E para o momento fletor teremos que

M a + M F l + 10 . x . x 2 - 99 . x + 20 ( x - 1,5 ) = 0

224,3 + M F l + 10 . x . x 2 - 99 . x + 20 x - 30 = 0

M F l = - 5 x 2 + 7 9 x - 194 , 3

Para o trecho CD teremos

Para o cortante teremos que

V a - V - 10 x - 20 - 15 = 0

99 - V - 10 x - 20 - 15 = 0

V = 64 - 10 x

E para o momento fletor teremos que

M a + M F l + 10 . x . x 2 - 99 . x + 20 x - 1,5 + 15 ( x - 2,3 ) = 0

224,3 + M F l + 10 . x . x 2 - 99 . x + 20 x - 30 + 15 x - 34,5 = 0

M F l = - 5 x 2 + 64 x - 1 59,8

Resposta

V A B = 99 - 10 x

M F l A B = - 5 x 2 + 99 x - 224,3

V B C = 79 - 10 x

M F l B C = - 5 x 2 + 79 x - 194,3

V C D = 64 - 10 x

M F l C D = - 5 x 2 + 64 x - 159,8

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração própria

A barra da figura está biapoaida e sujeita ao carregamento mostrado abaixo, usando seus conhecimentos sobre esforços internos em vigas, determine as equações do cortante e do momento fletor para cada um dos trechos da barra.