Enunciado

114- A haste dobrada A B E F é sustentada por mancais em C e D e pelo arame A H . Sabendo que a porção A B   da haste tem 250   m m de comprimento, determine a ) a tração no arame A H , b ) as reações em C e D . Considere que o mancal em D não exerce qualquer esforço axial.

Passo 1

Os mancais C e D somente reações as forças e em todos os sentidos (bem como dito no enunciado diz que D x = 0 , ou a força axial em D é nula). Além de reações a momentos em y e z (no caso positivas). E vamos nomear elas como:

R e a ç õ e s   e m   C → C x , C y , C z , M C y , M C z

R e a ç õ e s   e m   D → D y , D z , M D y , M D z

Porém nessa questão vamos considerar que não há momentos sendo aplicados nos mancais.

E sabendo que a força no cabo vai de A até H teremos a seguinte representação da força:

F A H = H - A = F × 0 i + 0.25 - 0.25 sin ⁡ 30 j - 0.25 cos ⁡ 30 k ( 0.25 - 0.25 sin ⁡ 30 ) 2 + 0.25 cos ⁡ 30 2

Convertendo as medidas para metros e rebatendo a barra A B para y e para z .

F A H = F 0.5 j - 0.866 k

Passo 2

Agora podemos encontrar a força F no cabo A H fazendo a somatória dos momentos no eixo x .

1 0 0 0 0 0.25 0 - 400 0 + F 1 0 0 0 0.25   s i n 30 0.25 cos ⁡ 30 0 0.5 - 0.866 = 0

Onde na matriz dos momentos de F teremos que colocar as distâncias que as forças podem ter para gerar momento no eixo x . (Considerando a força saindo em A )

Resolvendo os determinantes temos:

100 - 0.2165 F = 0 → F = 461.89   N

Passo 3

Agora vamos fazer a somatória dos momentos em C para achar as forças em D (lembrando que elas são positivas em z e y e nula em x )

∑ M C = 0

i j k 0.3 5 0 0.25 0 - 400 0 + 461.89 i j k - 0.05 0.25 sin ⁡ 30 0.25 cos ⁡ 30 0 0.5 - 0.866 + i j k 0.3 0 0 0 D y D z = 0

Onde a segunda linha é a distância relativa de C até o ponto de aplicação da força. E a primeira matriz é o momento da força de 400   N apontada para baixo, a segunda o momento da força no cabo A H e a terceira matriz o momento do mancal D .

Note a distância de D para E é de 0.05   m .

Fazendo os determinantes teremos:

100 i - 14 0 k + - 20 j - 11.55 k - 100 i + 0.3 D y k - 0.3 D z j = 0

Fazendo a somatória das forças que tem k teremos:

- 14 0 - 11.55 + 0.3 D y = 0 → D y = 505.17   N

Agora a somatória das forças que tem j :

- 20 - 0.3   D z = 0 → D z = - 66.67   N

Passo 4

Agora vamos fazer a somatória das forças sabendo que as forças de reações em C nos eixos são positivas.

∑ F = 0

C + D + F A H + - 400 j = 0

C x i + C y j + C z k + + 505.17 j - 66.67 k + 461.89 0.5 j - 0.866 k - 400 = 0

Fazendo a somatória das forças que tem i temos:

C x = 0

Agora a somatória das forças que tem j :

C y + 505.17 + 461.89 × 0.5 - 400 = 0 → C y = - 336.12   N

E a somatória das forças que tem k :

C z - 66.67 - 461.89 × 0.866 = 0 → C z = 466.67   N

Resposta

a )   461.89   N

b )   D = 505.17   N   i - 66.67   N   k ; C = - 336.12   N   j + 466.67   N   k  

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