Enunciado

Se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 1000   N , determine a maior massa que o cilindro pode ter para o equilíbrio.

Passo 1

Fala! Ele quer o valor máximo de m do cilindro sabendo que a maior força de tração não pode ultrapassar 1000 N . A estratégia aqui é achar as trações em função de m , e descobrir quem é a maior. A partir dela e do valor máximo 1000   N , achamos m .

O que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas.

Logo, fazendo o diagrama de corpo livre tem-se:

E, então, observando o desenho feito consegue-se montar as equações de equilíbrio.

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x ,   y   e   z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Como a geometria do problema é mais complexa, é mais jogo a gente escrever as forças na forma vetorial. Fazer a soma vetorial, e igualar cada componente dessa soma a zero, já que estamos no equilíbrio, bele? Vamos!

Passo 2

Tem-se que o cilindro exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P c i l i n d r o = W . De forma vetorial nós temos:

P = W   k

Também é possível denotar as forças F A B , F A C e F A D na forma vetorial. O que a gente precisa fazer é achar um vetor unitário na direção e sentido da força, e multiplicar a intensidade da nossa força por ele.

Percebe que para a AB, um vetor no sentido da força seria o que sai de A e vai para B. Podemos acha-lo pela diferença entre essas coordenadas desses pontos. Fazendo final menos inicial:

u A B = B - A = - 1 ,   1.5,3 - 0,0 , 0 = - 1 ,   1.5,3

Aí para achar o vetor unitário só dividir esse cara pelo módulo dele. Nossa força em forma vetorial fica:

F A B → = F A B - 1 i + 1,5 j + 3 k - 1 2 + 1,5 2 + 3 2 = F A B - 1 i + 1,5 j + 3 k 3,5

F A B → = F A B - 1 3,5 i + 1,5 3,5 j + 3 3,5 k

Fazemos o mesmo para as outras forças. Aqui nosso vetor sai de A e vai para C:

u A C = C - A = - 1 , - 2,2 - 0,0 , 0 = - 1 ,   - 2,2

F A C → = F A C - 1 i - 2 j + 2 k - 1 2 + - 2 2 + 2 2 = F A C - 1 i - 2 j + 2 k 3

F A C → = F A C - 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k

E para F A D :

u A D = C - A = 3 , - 4,0 - 0,0 , 0 = 3 , = 4,0

F A D → = F A D 3 i - 4 j + 0 k 3 2 + - 4 2 + 0 2 = F A D 3 i - 4 j 5

F A D → = F A D 3 14 i - 4 14 j

Passo 3

O equilíbrio requer quer o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F → = 0

- W   k + F A B - 1 3,5 i + 1,5 3,5 j + 3 3,5 k + F A C - 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k + F A D 3 14 i - 4 14 j = 0

Olhando para cada eixo, vamos igualar a soma em cada componente a zero.

∑ F x = 0

- 1 3,5 F A B - 1 3 F A C + 3 14 F A D = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

1,5 3,5 F A B - 2 3 F A C - 4 14 F A D = 0   ( 2 )

Por fim para k :

∑ F z = 0

3 3,5 F A B + 2 3 F A C - W = 0   3

Passo 4

A partir das equações (1) e (2) é possível obter relações entre as forças.

Vamos usar essas equações dessa forma:

- 2 ⋅ 1 + 2 → 2 3,5 F A B + 2 3 F A C - 6 14 F A D + 1,5 3,5 F A B - 2 3 F A C - 4 14 F A D = 0

F A B - 10 14 F A D = 0

1,5 ⋅ 1 + 2 → - 1,5 3,5 F A B - 1,5 3 F A C + 4,5 14 F A D + 1,5 3,5 F A B - 2 3 F A C - 4 14 F A D = 0

- 3,5 3 F A C + 0,5 14 F A D = 0

Logo

F A B = 10 14 F A D   e   F A C = 3 98 F A D

Como F A B e F A C são frações de F A D , temos que a maior força é F A D . Ela vai ser a tração máxima. Como a tração máxima permitida em cada cabo é de 1000   N , então F A D ≤ 1000   N .

Passo 5

Logo, com esse valor das forças e a equação (3), é possível determinar a maior massa do cilindro:

3 3,5 F A B + 2 3 F A C - W = 0   3

3 3,5 10 14   1000 + 2 3 3 98 1000 - m 9.81 = 0   3

31 49 F A D = W = m c i l 9,81 → F A D = 49 31 m c i l 9,81 ≤ 1000

Logo,

m p l a c a ≤ 64,5   k g

Obs: ficamos diferente do gabarito, mas tamos certinhos, tá?

Resposta

m p l a c a ≤ 64,5   k g

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