Enunciado

As extremidades dos três cabos estão presas a um anel em A e à borda da placa uniforme. Determine a maior massa que a placa pode ter se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 15   k N .

Passo 1

Fala meu querido!

Para encontrar a maior massa, podemos usar as equações de equilíbrio. Mas como a gente está no 3D, vamos precisar levar em consideração os 3 eixos coordenados.

Assim, a placa exerce uma força peso para baixo que pode ser chamada de W e é a mesma que os cabos puxam para cima a partir do ponto A.

Logo, fazendo o diagrama de corpo livre tem-se:

E, então, observando o desenho feito consegue-se montar as equações de equilíbrio.

Bora!

Passo 2

Precisamos das componentes das forças que estão atuando no eixo z . A melhor forma de fazer isso aqui é achando a forma vetorial das nossas forças. O peso fica:

P p l a c a → = W   k ^

A gente chama de W , porque não sabe seu valor.

Também é possível denotar as forças F A B , F A C e F A D na forma vetorial. Multiplicamos o módulo delas por um vetor unitário na direção e sentido da força. Para achar o vetor a gente vai fazer coordenada final menos inicial de um segmento que está na direção do vetor.

Para ele ser unitário, o dividimos pelo módulo. Então, tem-se que

F A B → = F A B u A B → u A B

u → A B = B - A = 4 , - 6,0 - 0,0 , 12 = 4 , - 6 , - 12

F A B → = F A B 4 i - 6 j - 12 k 4 2 + - 6 2 + - 12 2 = F A B 4 i - 6 j - 12 k 14

F A B → = F A B 4 14 i - 6 14 j - 12 14 k

Para F A C → :

F A C → = F A C u A C → u A C

u → A C = C - A = - 6 , - 4,0 - 0,0 , 12 = - 6 , - 4 , - 12

F A C → = F A C - 6 i - 4 j - 12 k - 6 2 + - 4 2 + - 12 2 = F A C - 6 i - 4 j - 12 k 14

F A C → = F A C - 6 14 i - 4 14 j - 12 14 k

E para F A D → :

F A D → = F A D u A D → u A D

u → A D = D - A = - 4,6 , 0 - 0,0 , 12 = - 4,6 , - 12

F A D → = F A D - 4 i + 6 j - 12 k - 4 2 + 6 2 + - 12 2 = F A D - 4 i + 6 j - 12 k 14

F A D → = F A D - 4 14 i + 6 14 j - 12 14 k

Passo 3

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Podemos escrever isso pela forma vetorial:

∑ F → = 0 → F → A B + F → A C + F → A D + P p l a c a → = 0

Essa relação nos dá as 3 equações de equilíbrio. Para acha-las, é avaliar o somatório de valores para cada componente dos vetores.

Olhando para cada componente dos vetores dessa relação separadamente, conseguimos montar as equações de equilíbrio. Olhando para a coordenada x :

∑ F x = 0

4 14 F A B - 6 14 F A C - 4 14 F A D = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

- 6 14 F A B - 4 14 F A C + 6 14 F A D = 0   ( 2 )

∑ F z = 0

- 12 14 F A B - 12 14 F A C - 12 14 F A D + W = 0   3

Passo 4

A partir das equações (1) e (2) é possível obter relações entre as forças, tal que:

F A B = F A D   e   F A C = 0

Como a tração máxima permitida em cada cabo é de 15   k N , então F A B = F A D ≤ 15   k N .

Logo, com esse valor das forças e a equação (3), é possível determinar a maior massa da placa:

- 12 14 F A B - 12 14 F A C - 12 14 F A D + W = 0

24 14 F A D = W = m p l a c a 9,81 → F A D = 14 24 m p l a c a 9,81 ≤ 15000

Logo,

m p l a c a ≤ 2621,2   k g

Resposta

m p l a c a ≤ 2621,2   k g

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