Enunciado

115- Uma placa retangular uniforme de 100   k g de massa é sustentada na posição mostrada na figura pelas dobradiças A e B e pelo cabo D C E , que passa por uma gancho sem atrito em C . Considerando que a tração é a mesma em ambas as partes do cabo, determine ( a ) a tração no cabo, ( b ) as reações em A e B . Considere que a dobradiça em B não exerce qualquer esforço axial.

Passo 1

O enunciado nos diz que não há nenhuma força de reação igual a B x o que faz com que o sistema de forças na placa seja:

Onde W é o peso da placa e vale:

W = 100 × 9.81 = 981   N

Ou de modo vetorial:

W = - 981 j

E está na posição de:

0.96 2 ; 0 ; 0.45 2 m = 0.48 ; 0 ; 0.225 [ m ]

E a vetorização das forças nos cabos C E e C D valem:

F C E = T × 0.27 i + 0.675 j - 0.45 k 0.27 2 + 0.675 2 + 0.45 2 = T 0.3158 i + 0.7895 j - 0.5263 k

F C D = T × - 0.69 i + 0.675 j - 0.45 k 0.69 2 + 0.675 2 + 0.45 2 = T [ - 0.6948 i + 0.6338 j - 0.4225 k ]

Passo 2

Agora vamos pegar essas forças todas e fazer a somatória dos momentos no eixo x para encontrar o módulo da força T :

T 1 0 0 0 0 0.45 0.3158 0.7895 - 0.5263 + T 1 0 0 0 0 0.45 - 0.6948 0.6338 - 0.4225 + 1 0 0 0 0 0.225 0 - 981 0 = 0

Onde a distância relativa das forças ao eixo x é apenas a distância no eixo z (Considerando as forças saindo de C ). Fazendo essas determinantes temos:

- 0.355275 T - 0.28521 T + 220.725 = 0

Isso nos dá:

T = 344.62   N

Passo 3

Agora vamos fazer a somatória dos momentos em A :

344.62 i j k 0.6 0 0.45 0.3158 0.7895 - 0.5263 + 344.62 i j k 0.6 0 0.45 - 0.6948 0.6338 - 0.4225

+ i j k 0.48 - 0.09 0 0.225 0 - 981 0 + i j k 0.960 - 0.18 0 0 0 B y B z = 0

Agora as distâncias relativas são em relação a A isso fará com que as determinantes valham:

- 122.435 i + 157.798 j + 163.246 k + - 98.289 i - 20.388 j + 131.052 k + 220.725 i - 382.59 k + ( 0.78 B y k - 0.78 B z j ) = 0

Fazendo a somatória dos elementos que tem j nós teremos:

157.798 - 20.388 - 0.78 B z = 0 → B z = 176.17   N

Agora fazendo a somatória dos elementos que tem k :

163.246 + 131.052 - 382.59 + 0.78 B y = 0 → B y = 113.19   N

Isso faz com que a reação em B seja:

B = 113.19   N   j + 176.17   N   k

Passo 4

Agora fazendo a somatória de todas as forças temos a força em A :

A + B + F C E + F C D - 981 j = 0

Dessa forma:

A x i + A y j + A z k + 176.17 k + 113.19 j + 344.62 0.3158 i + 0.7895 j - 0.5623 k + 344.62 - 0.6948 i + 0.6338 j - 0.4225 k - 981 j = 0

Juntando os termos temos:

A x + 344.62 × 0.3158 + 344.62 × - 0.6948 = 0 → A x = 130.61   N

A y + 113.19 + 344.62 × 0.7895 + 344.62 × 0.6338 - 981 = 0 → A y = 377.31   N

A z + 176.17 - 344.62 × 0.5623 - 344.62 × 0.4225 = 0 → A z = 163.21   N

Isso faz com que a reação em A seja:

A = 130.61   N   i + 377.31   N   j + 150.8   N   k

Resposta

T = 344.62   N

B = 113.19   N   j + 176.17   N   k

A = 130.61   N   i + 377.31   N   j + 150.8   N   k

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