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129- Determine a faixa de massas m do cilindro para a qual o sistema está em equilíbrio. O coeficiente de atrito entre o bloco de 50   k g e o plano inclinado vale 0.15 e aquele entre a corda e o apoio cilíndrico vale 0.25 .

Passo 1

Primeiramente vamos supor que o corpo de massa m está descendo.

Isso faz com que a força de atrito no bloco tenda para a esquerda uma vez que o bloco tende a subir. Fazendo com que o sistema de forças fique da seguinte maneira.

Fazendo a somatória das forças verticais no sistema nós teremos:

50 × 9.81 × cos ⁡ 20 = N = 460.92   N

O que nos dá uma força de atrito igual a:

F a t = 0.15 × 460.92 = 69.14   N

Com isso podemos calcular a força de tração na corda que será igual a:

69.14 + 50 × 9.81 × sin ⁡ 20 = T 1 = 236.9   N

Passo 2

Agora podemos analisar a polia para esse caso em que a massa está descendo.

Onde nesse caso a tração m g 2 será maior que T 1 . E o ângulo de abraçamento da polia com a correia será de:

β = 90 + 20 = 110

Se convertida para radianos teremos:

β = 110 π 180

Logo:

m g 2 T 1 = e 110 π 180 × 0.25

m = 2 × 236.9 9.81 × e 110 π 180 × 0.25 = 78.05   k g

Passo 3

Agora vamos para o caso que o bloco está tendendo a subir, isso muda nosso sistema de forças no plano de modo que ele fica da seguinte maneira:

De modo que agora o bloco no plano tende a descer, fazendo com que a força de atrito agora tenha sentido para a direita.

A força normal continua sendo N = 460.92   N e a força de atrito também F a t = 0.15 × N = 69.14   N .

Fazendo a somatória das forças horizontais nesse sistema nós teremos:

T 1 + 69.14 - 50 × 9.81 × sin ⁡ 20 = 0

Isso nos dá uma tração na corda igual a:

T 1 = 98.62   N

Passo 4

Agora vamos analisar o sistema de forças para a polia nesse caso:

Como a massa está subindo nesse caso então T 1 será maior que m g / 2 .

T 1 m g 2 = e 110 π 180 × 0.25

Isolando m temos:

2 T 1 g   e 11 π 18 × 0.25 = m

Substituindo os valores encontramos:

m = 12.44

Logo o intervalo de massas será:

12.44 ≤ m ≤ 78.05

Resposta

12.44 ≤ m ≤ 78.05

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