Enunciado

135. A placa A B C D de 50   k g é sustentada por dobradiças ao longo de A B e pelo arame C E . Sabendo que a placa é uniforme, determine a tração no arame.

Passo 1

Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação A B , utilizando esse eixo as forças que atuam em A e B não exercem momento nesse eixo de rotação, então:

u A B → = r A B → r A B →

Onde r A B → é o vetor que sai do ponto A até o ponto B . Assim:

r A B → = { 0 , 48 i - 0 , 2 j + 0 k }

r A → = 0 , 48 2 + 0 , 2 2 + 0 2

= 0 , 2704

= 0 , 52

Logo:

u A B → = { 0,48 i - 0,2 j + 0 k } 0,52

= { 0 , 923 i - 0,384 j + 0 k }

Também precisamos expressar a força de tração em sua forma vetorial, para termos as componentes de cada força em cada direção, para isso precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que a força de tração.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de D F é:

u C E → = - 0 , 2 4 i + 0 , 6 j - 0,4 k 0 , 76

u C E → = { - 0 , 315 i + 0 , 789 j - 0 , 526 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração do cabo C E :

T C E → = T C E u C E →

= - 0,315 T C E i + 0,789 T C E j - 0,526 T C E k

Agora temos que ver a força peso da placa que é dado por:

W = m ⋅ g

= 50 ⋅ 9,8

= 490     N

E como é uma força peso, ela só aponta verticalmente para baixo.

Passo 2

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento:

∑ M A B → = 0

u A B → ⋅ ( r A E → × T → ) + u A B → ⋅ ( r A G → × ( 0 i - 490 j + 0 k ) ) = 0

⇒ 0,923 - 0,384 0 0,2 4 0 , 4 0 - 0,315 T C E 0,789 T C E - 0,526 T C E + 0,923 - 0,384 0 0 , 24 - 0 , 1 0,2 0 - 490 0 = 0

Abrindo essa conta, temos:

⇒ 0,923 - 0 , 210 T C E + 0,384 - 0,1 26 T C E + 0 0,315 T C E +

+ 0,923 98 + 0 , 384 0 + 0 - 117,6 = 0

⇒ - 0,242 T C E + 90,45 = 0

⇒ T C E = 373,76   N

Resposta

T C E = 373,76   N

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