Enunciado

136- Determine as forças nos elementos D M e D N da treliça simétrica carregada.

Passo 1

Essa estrutura por mais que seja simétrica é melhor fazer nó por nó pelas inúmeras distâncias que a estrutura tem, ai não vale a pena fazer por seção.

E como pede-se uma força no meio dessa estrutura então não precisa calcular suas reações (mesmo que seja fácil pela estrutura e as forças serem simétricas).

Para o nó E temos:

Para a simetria da estrutura podemos dizer que:

F E L = F E M

F E D = F E F

E o ângulo θ é a tangente do tamanho da reta verde divido pelo tamanho da reta vermelha e que vai ser:

θ = t g - 1 r a i o - r e t a   a m a r e l a r e t a   v e r m e l h a = t g - 1 24 - 24 cos ⁡ 30 24 sin ⁡ 30 = 15 °

Fazendo a somatória das forças verticais temos:

- 2 × F E M × sin ⁡ 15 - L = 0

F E M = - L 2 sin ⁡ 15 = 1.932 L   C

Agora fazendo a somatória das forças horizontais teremos:

F E M cos ⁡ 15 + F E D = 0

Como os dois lados se anulam, logo somente um lado rebatido em x será zero também.

F E D = - F E M cos ⁡ 15 = 1.866 L   T

Passo 2

Agora vamos para o nó M pois vamos calcular a força na barra D M .

Para calcular os ângulos α e β da figura precisamos calcular o tamanho das retas coloridas da figura:

Reta laranja: 24 sin ⁡ 45

Reta verde: 24   s i n 60

Reta vermelha: 24 cos ⁡ 60

Reta roxa: 24 cos ⁡ 45

Agora o ângulo α será:

α = t g - 1 24 - r e t a   v e r d e r e t a   r o x a - r e t a   v e r m e l h a = t g - 1 24 ( 1 - sin ⁡ 60 ) 24 ( cos ⁡ 45 - cos ⁡ 60 ) = 32.9 °

Agora para calcular o ângulo β :

β = t g - 1 r e t a   v e r d e - r e t a   l a r a n j a r e t a   r o x a - r e t a   v e r m e l h a = t g - 1 24 ( sin ⁡ 60 - sin ⁡ 45 ) 24 ( cos ⁡ 45 - cos ⁡ 60 ) = 37.5 °

Fazendo a somatória das forças horizontais temos:

- F M D cos ⁡ 32.9 - F M N cos ⁡ 37.5 + - 1.932 cos ⁡ 15 = 0

E para a somatória das forças verticais:

F M D sin ⁡ 32.9 - 1.932 sin ⁡ 15 - F M N sin ⁡ 37.5 = 0

Resolvendo essa equação nós encontraremos:

F M D = 0.785 L   C

Passo 3

Agora podemos ir para a junta D .

Para calcular a força na barra D N basta fazer a somatória das forças verticais, que é:

- L - F D N - F D M sin ⁡ α = 0

F D N = - L - - 0.785 L s i n   32.9 = - 0.574 L

Que será:

F D N = 0.574 L   C

Resposta

F M D = 0.785 L   C

F D N = 0.574 L   C

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