Enunciado

140- Cada um dos elementos da estrutura de aterrissagem de uma nave para exploração de planetas é projetado como uma treliça espacial simétrica em torno do plano vertical x - z , como mostrado. Para uma força de aterrissagem F = 2.2   k N , calcule a força correspondente no elemento B E . A suposição é aceitável se a massa da treliça for muito pequena. Considere cargas iguais nos elementos dispostos simetricamente.

Passo 1

Vamos desenhar as forças que surgem em A e considerando que as forças saem do nó:

Onde a questão nos diz que surgem forçam iguais em elementos que estão simétricos , logo

F A E = F A F pois as duas barras são simétricas em y .

O vetor A E tem a seguinte direção:

A E → = 0 - 1.2 i + 0 - 0.4 j + 0.9 - 0 k = - 1.2 i - 0.4 j + 0.9 k

Onde temos a posição final subtraído da inicial em cada eixo.

Logo o vetor A F estará na direção:

A F → = - 1.2 i + 0.4 j + 0.9 k

E ambas terão tamanho igual a:

A E = A F = 1.2 2 + 0.4 2 + 0.9 2 = 1.552

E o vetor A B → terá a seguinte direção:

A B → = 0.9 - 1.2 i + 0 - 0 j + 0.9 + 0.5 - 0 k = - 0.3 i + 1.4 k

E terá o seguinte tamanho:

A B = 0.3 2 + 1.4 2 = 1.432

Passo 2

Essa normalização dos vetores nos abre a possibilidade de fazer a somatória das forças em A já que elas estão rebatidas em todos os eixos. Agora multiplicando a força por esse vetor de direção nós temos:

∑ F = 0

F 1 × ( - 1.2 i + 0.4 j + 0.9 k ) 1.552 + F 1 × ( - 1.2 i - 0.4 j + 0.9 k ) 1.552 + F 2 × ( - 0.3 i + 1.4 k ) 1.432 + 2.2 k = 0

Já que a força F só tem uma única direção.

Somando todos os elementos em i temos:

- 1.2 × 2 1.552 F 1 - 0.3 1.432 F 2 = 0

O que faz nós encontrarmos:

F 1 = F 2 × 1.552 1.432 × - 0.3 2 × 1.2 = - 0.135 F 2

Em j as parcelas se anulam independente das forças, agora fazendo a somatória das forças em k nós teremos:

F 1 × 0.9 1.552 × 2 + F 2 × 1.4 1.432 + 2.2 = 0

O que faz com que achamos:

1.16 F 1 + 0.978 F 2 + 2.2 = 0

Substituindo o resultado da somatória em i nós encontramos:

1.16 - 0.135 F 2 + 0.978 F 2 + 2.2 = 0 → F 2 = - 2 . 678   k N

Logo F 1 será:

F 1 = - 0.135 × F 2 = 0.362   k N

Passo 3

Agora para encontrar as forças nos elementos que a questão quer, vamos fazer as somatórias no nó B .

Desenhando o nó B .

Da mesma forma que nós A nós temos uma simetria em y nas forças em B F   e   B E e nas forças de B D   e   B C .

Fazendo a decomposição das direções nós temos que notar que agora a força é de F B A logo a direção vai ser a oposta da do que tínhamos no passo anterior, logo:

B A ⃑ = 0.3 i - 1.4 k

E terá o mesmo tamanho:

B A = 1.432

Agora a direção de B F :

B F → = 0 - 0.9 i + 0.4 - 0 j + + 0.9 - 0.9 - 0.5 k = - 0.9 i + 0.4 j - 0.5 k

Pela simetria em y temos que o vetor direção de B E ⃑ será:

B E ⃑ = - 0.9 i - 0.4 j - 0.5 k

E o tamanho desses dois vetores será de:

B E = B F = 0.9 2 + 0.4 2 + 0.5 2 = 1.105

Agora precisamos achar as direções de B C e B D .

Para B C :

B C ⃑ = 0 - 0.9 i + 0.4 - 0 j + 0.9 + 0.5 + 0.5 - 0.9 - 0.5 k = - 0.9 i + 0.4 j + 0.5 k

Logo pela simetria em y a direção de B D ⃑   será:

B D ⃑ = - 0.9 i - 0.4 j + 0.5 k

E esses dois vetores terão tamanhos iguais a:

B D = B C = 0.9 2 + 0.4 2 + 0.5 5 = 1.105

Passo 4

Vetores normalizados, vamos multiplicar os vetores direcionais com as forças e fazer o somatório ser nulo. Com F 2 = - 2.678   k N

- 2.678   1.4 32 × 0.3 i - 1.4 k +

F 3 1.105 × - 0.9 i + 0.4 j - 0.5 k + F 3 1.105 × - 0.9 i - 0.4 j - 0.5 k +

F 4 1.105 × - 0.9 i + 0.4 j + 0.5 k + F 4 1.105 × - 0.9 i - 0.4 j + 0.5 k = 0

Fazendo o somatório das forças em i ser zero nós teremos:

- 2.678   × 0.3 1.4 32 - 0.9 1.105 × 2 F 3 + F 4 = 0

- 0.561 - 1.629 F 3 + F 4 = 0

F 3 + F 4 = - 0.344

Como a somatória em j se anula sem precisarmos da força logo fazendo a somatória das forças em k nós teremos:

- 2.678   × - 1.4 1.4 32 - 2 × 0.5 1.105 F 3 + 2 × 0.5 1.105 F 4 = 0

0.905 F 4 - F 3 = - 2.618

F 4 - F 3 = - 2.893

Resolvendo esses sistema encontramos:

F 4 = - 1.62   k N

F 3 = 1.276   k N

O gabarito está errado.

E como a força que desenhamos em B E é a F 3 logo:

F B e = F 3 = 1.276   k N

Resposta

F B E = 1.276   k N

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