Enunciado

Na ponte rolante mostrada, todos os membros cruzados são tirantes delgados, incapazes de suportar compressão. Determine as forças nas barras DF e EF e encontre a reação horizontal na treliça em A. Mostre que se CF = 0, DE = 0 também.

Passo 1

Primeiro, podemos olhar para toda a estrutura. Uma vez que está em equilíbrio, podemos encontrar a força de reação vertical agindo no ponto A, observando o momento de todas as forças externas agindo sobre B.

∑ M B = 0

( 4 ⋅ 8 + 8 / 2 ) m ⋅ A y = 3 ⋅ 8 m ⋅ 1000 k N + ( 12 + 5 ⋅ 8 ) m ⋅ 200 k N A y = 955.55 k N

A y aponta para cima

Passo 2

Em seguida, cortamos os membros CE, ED, EF e membros paralelos do EF logo acima. Nosso novo corpo rígido está em equilíbrio. Mesmo que tenhamos feito um corte através de 4 membros, podemos olhar o momento de todas as forças externas (membros cortados agora agem como forças externas) sobre E para obter força naquele membro superior que chamarei de K (o nome não importa)

∑ M E = 0

6 m ⋅ K = 12 m ⋅ 200 k N K = 400 k N

Passo 3

Em seguida, fazemos um segundo corte (veja a imagem). Mais uma vez, nosso novo corpo rígido está em equilíbrio e podemos olhar no momento em torno de F para obter a componente horizontal da força de reação atuando no ponto A.

∑ M F = 0

22 m ⋅ A x = 6 m ⋅ K - ( 12 + 8 ) m ⋅ 200 k N + ( 8 / 2 ) m ⋅ 955.55 k N A x = 101 k N

A x aponta para direita

Passo 4

A maneira mais fácil de proceder é observar o que nossas duas forças externas originais estão fazendo com toda a estrutura. É claro que eles estão puxando a estrutura para baixo, mas como não estão agindo no centro da massa, estão produzindo alguma rotação. A força para a esquerda está puxando aquela parte da estrutura para baixo, mas a tensão dos membros não a está deixando, de modo que a força realmente muda de direção, agora puxando a “asa” para baixo e para a direita. A mesma coisa com a força certa. Empurra para baixo e sai por causa da tensão dos membros. Isso causa compressão do membro EF. Mas como esse membro está sendo reduzido, os membros CF e DE estão sendo compactados. Mas como esses membros não suportam compressão, eles não fazem nada. Isso pode parecer uma trapaça para você, mas sentir o que certa força faz ao corpo rígido, como ele está tentando deformá-lo, o ajudará a resolver muitos desses problemas mais rapidamente. Agora podemos fazer um terceiro corte (veja a imagem). Podemos encontrar o ângulo entre vertical e AE.

t a n ⁡ α = 4 22 → α = 10.3 ∘

Passo 5

Temos que CF = 0, então temos apenas duas incógnitas, já que calculamos K antes. Este novo corpo está em equilíbrio, podemos olhar no momento em relação a E para obter DF.

∑   M E = 0 12   m ⋅ 200 k N - 6   m ⋅ K + 4   m ⋅ A y + 22   m ⋅ A x = - 8   m ⋅ D F c o s ⁡ 79.7 ∘ - 8 - 8 2 11 m ⋅ D F s i n ⁡ 79.7 ∘ D F = - 768 k N

Sinal negativo é porque eu desenhei como uma tensão, mas é compressão. A seguir, observe o momento sobre C. Calculamos todas as forças, exceto EF.

∑   M c = 0 12 + 8 2 11 m ⋅ 200 k N - 14   m ⋅ K + 4 - 8 2 11 m ⋅ A y +   + 14   m ⋅ A x + 8 + 2 ⋅ 8 2 11 m ⋅ D F s i n ⁡ 79.7 ∘ = 8   m ⋅ E F E F = - 364 k N

Sinal negativo é porque eu desenhei como uma tensão, mas é compressão.

Resposta

A x = 101 k N D F = - 768 k N E F = - 364 k N

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