Enunciado

14.33. No Problema 14.3, determine o trabalho realizado pela mulher e pelo homem quando cada um mergulha do barco, considerando que a mulher mergulha primeiro.

Passo 1

Vamos começar lembrando como é o problema 14.3. A questão diz o seguinte, tem um homem e uma mulher na ponta de um barco, o homem tem 90   k g e a mulher tem 60   k g , já o barco tem 150   k g . Quando eles mergulham eles imprimem uma velocidade de 5 m s em relação ao barco.

Bom, a gente sabe que a mulher mergulha primeiro, e nesse mergulho, ela vai atingir uma velocidade relativa entre ela e o barco de 5 m s . Matematicamente, isso significa

v M - v B I = 5 m s

Então

v M = 5 + v B I

A gente pode calcular a velocidade dela e do barco em relação ao sistema inercial, só precisamos usar conservação de momento.

∑ m v i = ∑ m v f

A gente pode assumir que o sistema começa em repouso, então o momento inicial é 0 .

0 = m M g v M + M H + M B g v B I

0 = m M g 5 + v B I + M H + M B g v B I

0 = 60 9,81 5 + v B I + 90 + 150 9,81 v B I

A gente pode isolar v B I

0 = 30,6 + 6,12   v B I + 24,46   v B I

Isso fica

v B I = - 30,6 6,12 + 24,46 = - 1 m s

Essa é a velocidade do barco, então

v M = 5 - v B I

Logo

v M = 5 + - 1 = 4 m s

Passo 2

Calcular a velocidade da mulher e do barco é muito importante, porque para calcular o trabalho vamos usar a o teorema energia-trabalho. Vamos lá, precisamos calcular a variação de energia cinética. Antes da mulher mergulhar a energia cinética é nula, pois o sistema está em repouso, então

T i = 0

Depois que a mulher mergulha, e energia fica o seguinte

T f = 1 2 m M v M 2 + 1 2 m H + m B v B I 2

Vamos substituir os valores

T f = 1 2 60 4 2 + 1 2 90 + 150 - 1 2

Isso fica

T f = 600   J

Então, antes do homem mergulhar, o trabalho é

U = Δ T = 600 - 0 = 600   J

Esse é o trabalho realizado pela mulher.

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade do homem e do barco após o homem mergulhar. Sabemos a velocidade relativa entre o homem e o barco, ou seja, sabemos isso

v H - v B I I = 5 m s

Então

v H = 5 + v B I I

Agora temos um momento inicial, pois o sistema não está mais em repousou

m B + m B g v B I = m B g v B I I + m H g v H

Não precisamos considerar a mulher no sistema, porque ela não varia nem de velocidade nem de massa.

Vamos substituir os valores

150 + 90 9,81 - 1 = 150 9,81 v B I I + 90 9,81 5 + v B I I

Isso vai dar

- 24,46 = 15,29   v B I I + 45,87 + 9,17   v B I I

Isso vai dar

v B I I = - 2,87 5 m s

Então

v H = 5 + - 2,875 = 2,12 5 m s

Passo 4

Agora vamos calcular a variação de energia cinética.

T i = 1 2 m B + m H v B I 2

Isso fica

T i = 1 2 150 + 90 - 1 2

T i = 120   J

Depois que o homem mergulha, e energia fica o seguinte

T f = 1 2 m H v H 2 + 1 2 m B v B I I 2

Vamos substituir os valores

T f = 1 2 9 0 2,12 5 2 + 1 2 150 - 2,87 5 2

Isso fica

T f = 82 3   J

Então

U = Δ T = 82 3 - 120 = 703   J

Esse é o trabalho realizado pelo homem.

Resposta

M u l h e r   = 600   J H o m e m = 703   J

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