Enunciado

144- O dispositivo está projetado para permitir um ajuste da força trativa horizontal T no cabo que passa em torno das duas polias fixas, para abaixar a massa m . Se o coeficiente de atrito entre o cabo e as superfícies das polias vale 0.40 , determine a razão T / m g , e faça um gráfico dessa razão em função de θ na faixa 0 < θ < 90 . Determine também o valor da força cisalhante V no pino de ajuste em D em termos de m g para θ = 60 .

Passo 1

A primeira abordagem para resolver essa questão é ser capaz de descobrir o ângulo de abraçamento do cabo nas polias e associar-las com θ . E para isso vamos adotar ângulos iguais a α 2 para a polia superior e α 1 para a inferior.

Para a polia superior temos o seguinte somatório de ângulos para dar um valor igual a 2 π

θ + π 2 + π 4 + α 2 = 2 π

α 2 = 5 π 4 - θ

Agora para a polia inferior temos a seguinte somatória para dar um ângulo de meia volta:

θ + π 4 + α 1 = π

α 1 = 3 π 4 - θ

Passo 2

Como a massa m g   abaixa logo ela é maior que a força de tração T 0 logo:

m g = T 0 e 0.4 × α 1

E para manter esse abaixamento da massa temos que T 0 é maior que a força T , logo:

T 0 = T e 0.4 × α 2

Substituindo o valor de T 0 da segunda equação na primeira equação nós teremos a seguinte equação:

m g = T e 0.4 α 2 × e 0.4 α 1

Como a multiplicação de potências de mesma base é igual a soma dos expoentes logo:

m g = T e 0.4 α 1 + α 2

m g T = e 0.4 2 π - 2 θ  

T m g = e - 0.8 ( π - θ )

O gráfico para essa função pode ser vista abaixo:

Eixo x em radianos.

Passo 3

Para encontrar V vamos fazer a somatória dos momentos em O , para isso vamos desenhar o mesmo sistema porém com as medidas pertinentes para esse cálculo.

Logo a somatória dos momentos em O das forças na figura será:

- V 3 r + T r + m g ( 2 r 2 cos ⁡ θ + r ) = 0

V = T + m g ( 2 2 cos ⁡ θ + 1 ) 3

Para um valor de θ = π 3 temos:

V = 0.1872 m g + m g ( 2 2 cos ⁡ 60 + 1 ) 3 = 0.867 m g

Resposta

T m g = e 0.8 π - θ

e m π 3 → T m g = 0.1872

V = 0.867 m g

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