Enunciado

15.156. Duas barras AE e BD passam por meio de furos usinados em um bloco hexagonal. (Os furos são usinados em planos diferentes para que as barras não se toquem.) Sabendo que, no instante considerado, a barra AE gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante ω , determine, para os dados fornecidos, a velocidade relativa do bloco com respeito a cada barra.

a θ = 90 ° ,   b   θ = 60 °

Passo 1

Vamos começar esse problema assumindo θ = 90 °

O sistema vai ficar igual a imagem aqui em cima.

Olha só, a gente tem um triângulo A H B - , e a gente sabe que um dos catetos mede l . Podemos medir as outras partes do triângulo usando as informações que temos.

Bom, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, por tanto:

Podemos dizer então que

B H - ⋅ cos ⁡ 30 ° = l

Então

B H - = l cos ⁡ 30 ° = 2 l 3  

E também podemos dizer que

B H - ⋅ cos ⁡ 60 ° = A H -

Então

A H - = 2 l 3 ⋅ 1 2 = l 3

Passo 2

Beleza já temos as medidas das barras. Agora podemos calcular a velocidade do bloco H . Vamos considerar apenas a barra A H - por enquanto, podemos calcular a velocidade desse bloco assim:

v H = v H ' + v A E

A gente ainda não pé capaz de dizer exatamente o sentido de v A R , mas vamos deixar o vetor desenhado só para ilustrar o problema.

Então temos

v H = v A E   i ^ + v H '   j ^

Isso fica

v H =   v A E i ^ + A H - ⋅ ω   j ^

v H = v A E   i ^ + l ω 3   j ^

Agora vamos considerar só a barra B H -

Analogamente temos

v H = v H ' ' + v B H

A gente consegue determinar o ângulo de 30 ° da velocidade v H ' ' porque essa velocidade tem que ser perpendicular a barra B H - .

Temos então v H = B H - ⋅ ω + v B H

v H = 2 l ω 3 + v B H

Agora vamos separar as componentes:

v H = - 2 l ω 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° - v B H ⋅ sin ⁡ 30 ° i ^ + 2 l ω 3 ⋅ sin ⁡ 30 ° - v B H ⋅ cos ⁡ 30 ° j ^

Isso fica

v H = - l ω - v B H 2 i ^ + l ω 3 - v B H 3 2 j ^

Isso vai nos dar

v A E   i ^ + l ω 3   j ^ = - l ω - v B H 2 i ^ + l ω 3 - v B H 3 2 j ^

Passo 3

Vamos resolver para cada componente agora.

Na componente j ^ vai ficar assim

l ω 3 = l ω 3 - v B H 3 2

Vamos isolar v B H

v B H 3 2 = l ω 3 - l ω 3

Só tem um resultado possível para isso

v B H = 0

Esse resultado vai facilitar bastante.

Agora vamos fazer para a componente i ^

v A E = - l ω - v B H 2

Ou seja

v A E = - l ω   i ^

Viu como facilitou? E simples assim temos a resposta do item (a). Agora vamos para o item (b).

Passo 4

No item (b) as coisas vão ficar um pouquinho mais complicadas, agora temos θ = 60 ° , então nosso desenho fica:

Olha só, nosso triângulo tem dois ângulos de 60°. Sabe o que isso significa? É um triângulo equilátero, todos os lados do triângulo têm a mesma medida, isso vai ser bem útil pra gente!

Vamos usar o mesmo raciocínio que usamos no item (a). Começando com a barra A H - .

v H = v H ' + v A H

A gente descobre o ângulo usando duas preposições. A primeira é que o sistema de coordenas é aquele que o eixo x corta a barra A B - exatamente ao meio, e a segunda é que uma linha reta tem 180°.

Vamos continuar

v H = A H - ⋅ ω + v A H

Então

v H = l ω + v A H

Vamos separar por componentes

v H = l ω ⋅ cos ⁡ 60 ° - v A H ⋅ cos ⁡ 30 ° i ^ + l ω ⋅ sin ⁡ 60 ° + v A H ⋅ sin ⁡ 30 ° j ^

Isso fica

v H = l ω 2 - v A H 3 2 i ^ + l ω 3 2 + v A H 2 j ^

Agora vamos usar a barra B H -

v H = v H ' ' + v B H

Isso fica

v H = B H - ⋅ ω + v B H

v H = l ω + v B H

Agora vamos separar por componentes

v H = - l ω ⋅ cos ⁡ 60 ° - v B H ⋅ cos ⁡ 30 ° i ^ + - l ω ⋅ sin ⁡ 60 ° - v B H ⋅ sin ⁡ 30 ° j ^ Então

v H = - l ω 2 + v B H 3 2 i ^ + l ω 3 2 + v B H 2 j ^

Finalmente ficamos com

l ω 2 - v A H 3 2 i ^ + l ω 3 2 + v A H 2 j ^ = - l ω 2 + v B H 3 2 i ^ + l ω 3 2 + v B H 2 j ^

Passo 5

Agora vamos resolver para cada componente. Vamos começar com a componente i ^ .

l ω 2 - v A H 3 2 = - l ω 2 + v B H 3 2

Vamos isolar v B H

v B H 3 2 = l ω - v A H 3 2

Então

v B H = 2 l ω 3 - v A H

Agora vamos resolver em j ^

l ω 3 2 + v A H 2 = l ω 3 2 - v B H 2

Vamos isolar v A H

v A H 2 = v B H 2

Então

v A H = v B H

Agora podemos fazer

v B H = 2 l ω 3 - v A H

2 v B H = 2 l ω 3

Por tanto

v B H = l ω 3

E logo

v A H = l ω 3

Essa é a resposta do item (b). Você pode ver os ângulos nas imagens.

Resposta

  a : v B H = 0 v A E = - l ω   i ^

b : v B H = l ω 3

v A H = l ω 3

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