Enunciado

155. Substitua o carregamento por uma força resultante e momento de binário equivalentes no ponto A .

Passo 1

Vamos resolver esse problema separando em duas partes, a primeira parte é o carregamento inclinado a esquerda e a segunda é o carregamento mais acima que está na horizontal.

A intensidade da força é igual a área total sob o diagrama de carregamento, isso vale para as duas partes que temos na figura.

A posição do centroide em relação ao próprio diagrama, que é onde essa força atua é dada pela seguinte fórmula:

x - = ∫ A x   d A ∫ A d A

Mas para figuras geométricas mais simples, como o nosso caso, tem fórmulas tabeladas que você pode encontrar no apêndice C na seção C.4.

O carregamento que está inclinado pode ser divido em duas figuras que tem forma fácil de calcular a área, nesse caso vai ser um triângulo e um retângulo como é mostrado a seguir na figura:

Achando as forças que representam cada carregamento, vamos decompô-las em suas componentes verticais e horizontais, acharemos a resultante em cada direção podendo montar a força resultante total como um vetor, depois para achar sua intensidade basta calcular a norma desse vetor.

Para achar o momento de binário, basta somar o momento referente de cada força e somá-los.

Passo 2

Agora vamos calcular as forças do carregamento inclinado. Como a força é igual a área do diagrama, vamos chamar de F 1 a força referente ao retângulo e F 2 a força referente ao triângulo, então:

F 1 = a ⋅ b

= 1 ⋅ 1,8 = 1,8

F 2 = b ⋅ h 2

= 1,8 ⋅ 1 2 = 0,9

Agora vamos calcular onde essas forças atuam.

x 1 - = 1 2 ⋅ b

= 1 2 ⋅ 1,8 = 0,9

x 2 - = 1 3 ⋅ b

= 1 3 ⋅ 1,8 = 0,6

Passo 3

Agora vamos calcular do carregamento superior. Vamos chamar de F 3 a força que representa esse carregamento e dada por:

F 3 = a ⋅ b

= 1 ⋅ 1,2 = 1,2

Agora vamos calcular onde essa força atuam.

x 3 - = 1 2 ⋅ b

= 1 2 ⋅ 1,2 = 0,6

Passo 4

Agora observando a figura abaixo, podemos ver a seguinte semelhança de ângulos, que vai nos ajudar a decompor as forças F 1 e F 2 .

Com isso, podemos decompor F 1 e F 2 , da seguinte maneira:

Vertical:

F 1 ⋅ cos ⁡ 60 °

F 2 ⋅ cos ⁡ 60 °

Horizontal:

F 1 ⋅ s e n   60 °

F 2 ⋅ s e n   60 °

Passo 5

Agora vamos calcular as componentes da força resultante na vertical e na horizontal.

Vertical:

F R y = F 1 ⋅ cos ⁡ 60 ° + F 2 ⋅ cos ⁡ 60 ° + F 3

= 1,8 ⋅ 0,5 + 0,9 ⋅ 0,5 + 1,2

= 0,9 + 0,45 + 1,2

= 2,55

Horizontal:

F R x = F 1 ⋅ s e n   60 ° + F 2 ⋅ s e n   60 °

= 1,8 ⋅ 0 , 866 + 0,9 ⋅ 0 , 866

= 1,5588 + 0,7794

= 2,34

Logo:

F R → = { 2,55 i + 2,34 j }

F R → = 2,55 2 + 2,34 2

= 6,5025 + 5,4756

= 11,98

= 3,46

A direção dessa força é determinada por:

t g   θ = 2,34 2,55 = 0,917

⇒ θ = a r c t g   0,917

= 42,52 °

Passo 6

Vamos agora determinar o momento de binário, para isso basta somar o momento de cada força, que nada mais é que a força multiplicada pela a distância de sua aplicação até o ponto que queremos que no caso vai ser o A , então:

M R A = 1,8 ⋅ 0,9 + 0,9 ⋅ 0,6 + 1,2 ⋅ 0,6 + 1,8 ⋅ cos ⁡ 60 °

= 1,62 + 0,54 + 1,5

= 3,66

Resposta

F R = 3,46   k N

θ = 42,52 °

M R = 3,66   k N ⋅ m

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