Enunciado

168- Um cabo que tem uma massa de 0.5   k g por metro de comprimento está preso ao ponto A . Uma força trativa T B é aplicado ao ponto B , fazendo com que o ângulo θ A valha 15 . Determine T B e θ B .

Passo 1

O peso específico da corda μ é calculado por:

μ = 0.5 k g m × 9.81 = 4.905   N / m

Agora precisamos encontrar o ponto de deflexão da corda:

Passo 2

Utilizando a equação ( 5 / 19 ) (equação da catenária) no ponto A temos que:

y a = T o μ   cosh ⁡ μ x a T 0 - 1

Agora temos que entender que o ponto B encontra-se ( x a + 12 , y a + 9 ) em relação ao ponto A , o que faz com que a equação no ponto B seja:

y a + 9 = T 0 μ cosh ⁡ μ x a + 12 T 0 - 1

Agora podemos utilizar a informação de que no ponto A temos uma inclinação de t a n ⁡ ( 15 ) ao derivar a equação pertinente a A .

d y d x = sinh ⁡ μ x T 0

Isso é:

tan ⁡ 15 = sinh ⁡ μ x a T 0

Passo 3

Temos três equações para três incógnitas.

Pela terceira equação temos que:

μ x a T 0 = sinh - 1 ⁡ ( tan ⁡ 15 )   = 0.265

Como μ = 4.905 logo:

x a T 0 = 0.054 → x a = 0.054 T 0

Substituindo na primeira equação temos:

y a = T 0 4.905 ( cosh ⁡ 0.265 - 1 )  

O que faz nós encontrarmos:

y a = 0.0072 T 0

Substituindo esses dois resultados na segunda equação:

0.0072 T 0 + 9 = T 0 4.905 cosh - 1 ⁡ 4.905 0.054 T 0 + 12 T 0 - 1

Resolvendo numericamente essa equação nós encontraremos:

T 0 = 71.5   N

E por consequência:

y a = 0.514   m

x a = 3.86   m

Passo 4

Agora podemos achar o valor de T B e do ângulo cabo a B uma vez que temos seus valores médios:

Aplicando a equação de resistência do cabo temos:

T b = T o + μ y b

T b = 71.5 + 4.905 × 9 + 0.514 = 118.2 N

Para encontrar o ângulo θ aplicamos o mesmo raciocínio feito no passo 2 :

tan ⁡ θ b = sinh ⁡ μ T 0 x b

tan ⁡ θ b = sinh ⁡ 4.905 × 12 + 3.86 71.5

θ b = 52.76 °

Uma vez que y b = y a + 9 e x b = x a + 12

Resposta

T b = 118.2   N

θ b = 52.76 °

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