Enunciado

171- Por razões estéticas, correntes são algumas vezes usadas no lugar de calhas em construções pequenas, para direcionar a água do telhado até o chão. O arquiteto da construção mostrada especificou uma corrente vertical de 6   m desde A até B , mas o construtor decidiu usar uma corrente de 6.1   m desde A até C , como mostrado, para afastar mais a água da estrutura. De qual porcentagem n o construtor aumentou o módulo da força exercida na calha em A em relação a proposta pelo arquiteto? A corrente pesa 100   N por metro de seu comprimento.

Passo 1

A força na corrente pelo o que o arquiteto planejou será de:

F = μ × L

Onde μ é o peso específico por metro de corrente multiplicado pelo comprimento total da corrente, logo:

F = 6 m × 100   N m = 600   N

Passo 2

Vamos dizer que o ponto C encontra-se numa catenária no ponto igual a ( x c , y c ) logo o ponto A estará numa posição igual a x a , y a = ( x c + 1 , y c + 6 ) .

O peso específico da corrente é μ = 100   N / m

Então utilizando a equação da catenária temos a equação geométrica no ponto C .

y c = T 0 100 cosh ⁡ 100 x c T 0 -   1

No ponto A temos:

y c + 6 = T 0 100 cosh ⁡ 100 ( x c + 1 ) 100 - 1

Como foi nos dado o comprimento total da corrente valendo 6.1   m nós sabemos que o comprimento total dela equivale a diferença do espaço percorrido pela catenária da sua origem até o ponto A da do espaço percorrido pela catenária do ponto de origem até o ponto C , o que nos dá:

6.1 = s a - s c

Onde s a vale:

s a = T 0 100 sinh ⁡ 100 ( x c + 1 ) T 0

E s c :

s c = T 0 100 sinh ⁡ 100 x c T 0

Logo:

T 0 100 sinh ⁡ 100 x c + 1 T 0 - sinh ⁡ 100 x c T 0 = 6.1

Resolvendo analiticamente essas três equações nós teremos:

T 0 = 65.5   N ;       y c = 1.088   m   ;     x c = 1.071   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a força T no ponto A resolvendo a equação:

T a = T 0 + μ y a

T a = 65.5 + 100 × 1.088 + 6 = 774.3   N

Logo o aumento percentual n será de:

n = 774.3 - 600 600 × 100 = 29 %

Resposta

n = 29 %

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