Enunciado

2/132) Durante um curto intervalo as guias ranhuradas são projetadas para se deslocar de acordo com x = 16 - 12 t = 4 t 2 e y = 2 + 15 t - 3 t 2 , onde x e y são em milímetros e t é em segundos . No instante em que t = 2 s , determine o raio de curvatura ρ da trajetória do pino restringido P .

Passo 1

Bom pessoal , como o enunciado nos fornece a equação horária do deslocamento em relação aos eixos x e y , podemos achar a equação horária da velocidade e da aceleração . Temos que :

x = 16 - 2 t + 4 t 2                 y = 2 + 15 t - 3 t 2

Derivando achamos a equação horária da velocidade :

x ' = 8 t - 2             y ' = 15 - 6 t

Derivando mais uma vez , achamos a equação horária da aceleração :

x " =8       y = - 6

Logo , para t = 2   s :

x ' = 4   m m / s                       y ' = 15 - 12 = 3 m m / s

v = x ' 2 + y ' 2 = 4 2 + 3 2 = 5 m m / s

x " = 8 m m / s 2                 y " = - 6 m m / s 2

Passo 2

Para entendermos melhor o que estamos fazendo , bora dar uma olhada na representação dos valores que achamos :

Reparem que o ângulo θ pode ser facilmente descoberto pelas relações trigonométricas conhecidas :

θ = tan - 1 ⁡ 3 4

Reparem também , pela primeira imagem , que o módulo da aceleração normal pode ser obtido pela relação :

a n = y ' cos ⁡ θ + x ' sen ⁡ θ

a n = 6 4 5 + 8 3 5 = 9,6 m m / s 2

Como já conhecemos o valor da velocidade do movimento , podemos achar o raio de curvatura através da fórmula :

a n = v 2 / ρ  

ρ = v 2 a n = 5 2 9,6 = 2,60   m m

Resposta

ρ = 2,60   m m

Tranquilo pessoal? Bora resolver mais questões então

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