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25. Quando uma partícula é projetada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de v 0 ,   ela experimenta uma aceleração a = - g + k v 2 , onde g é a aceleração devida à gravidade; k é uma constante e v é a velocidade da partícula. Determine a altura máxima alcançada pela partícula.

Passo 1

Sabemos a partir da cinemtática escalar que a velocidade e aceleração de uma partícula são dadas por:

a = d v d t

v = d s d t

A partir daí, podemos isolar dt nas duas expressões:

d t = d v a

d t = d s v

Combinando as duas expressões de dt vem:

d v a = d s v

a   d s = v   d v

Que é uma expressão muito pertinente na resolução da maior parte dos exercícios deste capitulo.

Passo 2

Como a aceleração é uma função da velocidade nesse caso, podemos escrever a expressão obtida da seguinte forma:

d s = v d v a

d s = - v d v g + k v 2

∫ 0 s d s = ∫ v 0 v - v d v g + k v 2

s 0 s = - 1 2 k ln ⁡ g + k v 2 v 0 v

s = 1 2 k ln ⁡ g + k v 0 2 g + k v 2

Passo 3

Devemos lembrar da teoria de lançamentos verticais que a altura máxima do movimento de uma partícula lançada é quando v = 0 . Sendo assim:

s ( 0 ) = 1 2 k ln ⁡ g + k v 0 2 g + k ( 0 ) 2

s 0 = h m á x = 1 2 k ln ⁡ g + k v 0 2 g

s 0 = h m á x = 1 2 k ln ⁡ 1 + k v 0 2 g

Resposta

s 0 = h m á x = 1 2 k ln ⁡ 1 + k v 0 2 g

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