Enunciado

A posição de uma caixa deslizando para baixo por uma espiral pode ser descrita como

r = [ 2 s e n ( 2 t )  i + 2 cos ⁡ t  j -2 t 2  k ]  m

Onde t é dado em segundos e os argumentos para o seno e o cosseno estão em radianos. Determine a velocidade e a aceleração da caixa quando t = 2 s.

Passo 1

Dado a equação r = [ 2 s e n ( 2 t )  i + 2 cos ⁡ t  j -2 t 2  k ]  m

Para encontrar a velocidade, basta derivarmos a equação, então

v = d r d t = ( 4 cos ⁡ ( 2 t ) , - 2 s e n t , - 4 t )

Em t = 2

v ( 2 ) = ( 4 cos ⁡ ( 4 ) , - 2 s e n 4 , - 8 )

A resultante será

v ( 2 ) = v x 2 + v y 2 + v z 2 = ( - 2,61 ) 2 + ( - 1,82 ) 2 + ( - 8 ) 2 = 8,60 m/s

Passo 2

De modo análogo a velocidade, podemos calcular a aceleração derivando v ( t )

a = d v d t = ( - 8 s e n ( 2 t ) , - 2 cos ⁡ t , - 4 )

Substituindo em t = 2 e, posteriormente calculando a resultante, teremos

a 2 = 7,3 m/s2

Resposta

A velocidade e aceleração serão, respectivamente, v ( 2 ) = 8,60 m/s e a 2 = 7 , 3 m/s2

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