Enunciado

2.91 Encontre a intensidade, a direção e o sentido da resultante das duas forças mostradas, sabendo que P=300N e Q=400N.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o módulo das forças e os ângulos θ y e ϕ , esse é o Caso 1 da Metodologia para resolução de problemas que o livro nos ensina. Quando temos esses ângulos só precisamos decompor eles em cada eixo e somar os dois vetores. E fazemos isso com as equações 2.16 :

F y = F cos ⁡ θ y

e 2.17 :

F x = F sen ⁡ θ y cos ⁡ ϕ

F z = F sen ⁡ θ y s en ⁡ ϕ

Passo 2

Primeiro vamos decompor a força P :

Seu módulo é:

P = 300   N

Sabemos que o θ y é o ângulo que o vetor faz com o eixo y , mas ali na imagem temos o ângulo que o vetor faz com o plano x z , então só precisamos pegar o complementar dele, dessa forma:

θ y = 90 ° - 30 °

θ y = 6 0 °

E ϕ é o ângulo entre o plano do vetor e o plano x y , podemos ver isso lá na dedução da fórmula na pagina 47. Nesse caso esse ângulo vai ser o 15 ° , que esta mostrado na figura, mais os 90 ° que falta para chegar no plano x y :

ϕ = 15 ° + 90 °

ϕ = 105 °

Agora é só aplicar nas fórmulas.

No eixo y :

F y = F cos ⁡ θ y

F y = 300 cos ⁡ 60 °

F y = 150   N

Eixo x :

F x = F sen ⁡ θ y cos ⁡ ϕ

F x = 300 sen ⁡ 60 ° cos ⁡ 105 °

F x = - 67,2   N

Eixo z :

F z = F sen ⁡ θ y sen ⁡ ϕ

F z = 300 sen ⁡ 60 ° sen ⁡ 105 °

F z = 251,0   N

Escrevendo isso na forma vetorial, temos que:

P = - 67,2   i + 150   j + 251,0   k

Passo 3

E para o vetor Q vamos fazer o mesmo processo:

O ângulo θ y vai ser o complementar do que aparece na imagem:

θ y = 90 ° - 50 °

θ y = 40 °

E podemos pensar no ângulo ϕ como o que está na imagem só que negativo:

ϕ = - 20 °

Aplicando nas fórmulas:

Eixo y :

F y = F cos ⁡ θ y

F y = 4 00 cos ⁡ 4 0 °

F y = 306,4   N

Eixo x :

F x = F sen ⁡ θ y cos ⁡ ϕ

F x = 4 00 sen ⁡ 4 0 ° cos ⁡ - 20 °

F x = 241 , 6   N

Eixo z :

F z = F sen ⁡ θ y sen ⁡ ϕ

F z = 4 00 sen ⁡ 4 0 ° sen ⁡ - 20 °

F z = - 87 , 9   N

Escrevendo isso na forma vetorial, temos que:

Q = 241,6 i + 306,4   j - 87,9   k

Passo 4

Somando essas duas forças:

R = P + Q

R = - 67,2   i + 150   j + 251,0   k + 241,6 i + 306,4   j - 87,9   k

R = 1 7 4,4   i + 456,4   j + 163,1   k

Para descobrir o módulos é só aplicar na fórmula 2.18 :

R = R x 2 + R y 2 + R z 2

R = 1 7 4,4 2 + 456,4 2 + 163,1 2

R = 5 1 5 , 1   N

E a direção se dá pelo ângulos θ x , θ y e θ z , e só precisamos aplicar nas fórmulas:

cos ⁡ θ x = F x F

cos ⁡ θ y = F y F

cos ⁡ θ z = F z F

Substituindo os valores que temos:

cos ⁡ θ X = 174,4 515,1

θ x = cos - 1 ⁡ 174,4 515,1

θ x = 70,2 °

Para θ y :

cos ⁡ θ y = 4 56 , 4 515,1

θ y = cos - 1 ⁡ 456 , 4 515,1

θ y = 2 7 , 6 °

Para θ z :

cos ⁡ θ z = 163 , 1 515,1

θ z = cos - 1 ⁡ 1 63 , 1 515,1

θ z = 7 1 , 5 °

Resposta

R = 515,1   N

θ x = 70,2 °

θ y = 27,6 °

θ z = 71,5 °

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →