Enunciado

Determine o ângulo theta entre os cabos A B e A C .

Passo 1

Para obter o ângulo desejado, é possível utilizar os vetores posição de cada direção, ou seja, de A B e de A C .

Assim, o módulo de cada vetor deverá ser determinado para, ao final, encontrar o valor do ângulo através da relação de produto escalar entre dois vetores que partem do mesmo ponto.

Passo 2

Logo, os vetores posição serão:

r_A B = (- 4,5 i + 0,9 j + 2,4 k) m

E:

r_A C = (- 4,5 i - 2,4 j + 3,6 k) m

Passo 3

Fazendo o módulo de cada vetor, tem-se as suas intensidades:

r_A B = sqrt((- 4,5)^2 + (0,9)^2 + (2,4)^2)

r_A B = 5,1788 m

r_A C = sqrt((- 4,5)^2 + (- 2,4)^2 + (3,6)^2)

r_A C = 6,2426 m

Passo 4

Agora, fazendo o produto escalar entre os dois vetores unitários:

r_A B . r_A C = (- 4,5 i + 0,9 j + 2,4 k) . (- 4,5 i - 2,4 j + 3,6 k)

r_A B . r_A C = (- 4,5) (- 4,5) + (0,9) (- 2,4) + (2,4) (3,6)

r_A B . r_A C = 26,73 m ²

Passo 5

Por fim, deve-se fazer a relação que irá resultar no ângulo desejado. Tal relação se dá através do produto escalar entre dois vetores que se interceptam e no qual existe um ângulo formado entre as origens desses vetores:

r_A B * r_A C = r_A B r_A C cos theta

Rearranjando esta equação:

theta = c o s^(- 1) ((r_A B * r_A C)/(r_A B r_A C)) = cos^(- 1) [(26,73)/((5,1788) (6,2426))]

:. theta = 34,23 °

Resposta

theta = 34,23 °

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