Enunciado

2.93 Sabendo que a tração é 1.890 N no cabo AB e 2.270 N no cabo AC, determine a intensidade, a direção e o sentido da resultante das forças exercidadas em A pelos dois cabos.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o módulo das forças e a direção delas definida por dois pontos, esse é o Caso 3 da Metodologia para Resolução de Problemas que o livro nos ensina. Quando temos esses pontos precisamos encontrar o vetor unitário, que vai nos dar a direção que a força atua e então multiplicar esse vetor pela intensidade da força.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os vetores AB e AC que vão nos dar as direções das forças, para isso é só olhar a Figura do exercícios, onde encontramos as dimensões:

A B = 1   i - 1,2   j + 1,5   k

e

A C = 2,5   i - 1,2   j + 1,5   k

A gente precisa do módulo desses vetores também, porque quando a gente dividir o vetor pelo seu módulo teremos o vetor unitário (Equação 2.27):

λ → = M N → M N

Para encontrar o módulo de um vetor é só tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados, ou de um escrevendo de um jeito mais bonitinho:

A B = A B x 2 + A B y 2 + A B z 2

Substituindo pelos valores:

A B = 1 2 + - 1,2 2 + 1,5 2

A B = 2,166

Da mesma forma para o vetor A C :

A C = 2,5 2 + - 1,2 2 + 1,5 2

A C = 3,153

Agora vamos achar os vetores unitários:

λ → A B = A B → A B

λ → A B = 1   i - 1,2   j + 1,5   k 2,166

λ → A B = 0,462   i - 0,554   j + 0,693   k

Agora para o A C :

λ → A C = A C → A C

λ → A C = 2,5   i - 1,2   j + 1,5   k 3,153

λ → A C = 0,793   i - 0,381   j + 0,476   k

Show, a primeira parte já foi.

Passo 3

Agora que temos os vetores unitários, que estão na direção da força, só precisamos multiplicar o módulo da força por esse vetor, que encontraremos cada um dos vetores força (Equação 2.28):

F → A B = F A B ⋅ λ → A B

Do enunciado, a gente sabe que F A B = 1.890   N , então:

F → A B = 1 . 890 ⋅ 0,462   i - 0,554   j + 0,693   k

F → A B = 873   i - 1 . 047   j + 1 . 310   k

Para F → A C , sabemos que F A C = 2.270   N :

F → A C = F A C ⋅ λ → A C

F → A C = 2 . 27 0 ⋅ 0,793   i - 0,381   j + 0,476   k

F → A C = 1 . 800   i - 865   j + 1 . 0 81   k

Agora é só somar os vetores para obtermos o resultante:

F → = F → A B + F → A C

F → = 873   i - 1.047   j + 1.310   k + 1.800   i - 865   j + 1.081   k

F → = 2 . 673   i - 1.9 12   j + 2.3 91   k

Para encontrar o módulo do vetor resultante vamos usar a mesma fórmula que usamos no Passo anterior:

F = F x 2 + F y 2 + F z 2

F = 2 . 673 2 + - 1.9 12 2 + 2.3 91 2

F = 4.06 4   N

Passo 4

E a direção se dá pelo ângulos θ x , θ y e θ z , e só precisamos aplicar nas fórmulas:

cos ⁡ θ x = F x F

cos ⁡ θ y = F y F

cos ⁡ θ z = F z F

Substituindo os valores que temos:

cos ⁡ θ X = 2 . 673 4.06 4

θ x = cos - 1 ⁡ 2.673 4.06 4

θ x = 48 , 9 °

Para θ y :

cos ⁡ θ y = - 1.9 12 4.06 4

θ y = cos - 1 ⁡ - 1.9 12 4.06 4

θ y = 11 8 , 1 °

Para θ z :

cos ⁡ θ z = 2 . 391 4.06 4

θ z = cos - 1 ⁡ 2.391 4.064

θ z = 5 4 , 0 °

Resposta

F = 4.06 4   N

θ x = 48 , 9 °

θ y = 11 8 , 1 °

θ z = 5 4 , 0 °

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