Enunciado

9.84 Determine a área da superfície de A até B do tanque.

Passo 1

Vamos separar o tanque em dois pedaços, a metade de uma esfera que fica em cima e o tronco de um cone que fica embaixo. A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da curva de geração

e L é o comprimento da curva de geração.

A metade de cima é formada pela revolução desse arco:

Esse arco é um quarto de uma circunferência, então podemos observar na tabela do apêndice que a distância r - é

r - = 2 r π

O raio da circunferência é 3, logo

r - = 6 π

O comprimento L do arco é igual a um quarto de circunferência:

L = 1 4 ⋅ C

L = 1 4 ⋅ 2 π r

L = 3 π 2

E θ = 2 π , porque o arco da uma volta completa para formar o tanque.

Então a área vai ser igual a:

A 1 = 2 π 6 π 3 π 2

A 1 = 18 π

Passo 2

Já a metade de baixo é formada pela revolução completa ( θ = 2 π ) de um segmento de reta. Seu centroide é mais de achar, pois ele fica bem no meio da reta:

A distância r - vai ser igual a

r - = 1 + 2 2

r - = 2

A distância L podemos encontrar por pitagoras:

L 2 = 2 2 + 1,5 2

L = 4 + 2,25

L = 2,5

Agora só multiplicar os valores:

A 2 = 2 π 2 2,5

A 2 = 10 π

Passo 3

Somando as duas áreas, vamos obter a área total:

A = A 1 + A 2

A = 18 π + 10 π

A = 28 π

A = 88,0   m 2

Resposta

A = 88   m 2

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