Enunciado

34- Determine o valor de a que minimiza a distância perpendicular de um ponto C até a seção da tubulação que passa pelos pontos A e B .

Passo 1

Para resolver este problema de forma física vamos considerar um momento em C causado por uma força F que encontra-se na seção que vai de A até B o momento em C vale:

M C = r A C × F B A

Vamos considerar uma força que vai de B até A e uma distância que vai de A até C , começando pela força nós teremos:

F B A = F × 0 - 8 i + - 2 - 5 j + 3 + 6 k 8 2 + 7 2 + 9 2

Isso nos dá:

F B A = F [ - 0.574 i - 0.503 j + 0.646 k ]

E o vetor distância será:

r A C = - i + 0.8 - - 2 j + a - 3 k

Passo 2

Dessa forma o determinante do momento será:

M = F i j k - 1 2.8 a - 3 - 0.574 - 0.503 0.646

Resolvendo esse determinante nós encontramos:

M = F [ 0.2998 + 0.503 a - 0.547 a - 2.368 j + 2.1102 k ]

Isso nos dá um módulo igual a:

M = F 2 [ 0.2998 + 0.503 a 2 + 0.547 a - 2.368 2 + 2.1102 2

Passo 3

Desta forma a distância d será:

F 2 [ 0.2998 + 0.503 a 2 + 0.547 a - 2.368 2 + 2.1102 2 = F d

d = [ 0.2998 + 0.503 a 2 + 0.547 a - 2.368 2 + 2.1102 2

d 2 = [ 0.2998 + 0.503 a 2 + 0.547 a - 2.368 2 + 2.1102 2

Note que temos uma função d em função de a e para encontrarmos o menor valor de a basta derivar d uma vez em relação a a e igualar a zero, isso nos fará encontrar um valor de d necessário para que a d pare de crescer ou decrescer e fique no ponto de mínimo local da função. Fazendo isso nós temos:

0 = 2 0.2998 + 0.503 a × 0.503 + 2 0.547 a - 2.368 0.547

0 = 0.3016 + 0.506 a - 2.59 + 0.598 a

Isso nos dará:

1.1044 a = 2.2884 → a = 2.072   m

Resposta

a = 2.072   m

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