Enunciado

4.103. A placa quadrada de 100 N mostrada na figura é sustentada por três arames verticais. Determine (a) a tração em cada arame quando a=250 mm (b) o valor de a para o qual as trações nos três arames sejam iguais.

Passo 1

Vamos fazer um desenho com os pontos importantes da imagem

Esse G é o centro de gravidade da folha d e madeira, onde age a força peso.

Passo 2

Bom, sabemos que a folha de madeira está parada, então

M A = 0

Vamos então somar todos os componentes que compões a o momento em A

M A = ∑ r → × F →

As forças que agem são a força peso, a força de reação em A, B e C, então

M A = r B A → × B   j ^ + r C A → × C   j ^ + r G A → × - P   j ^ = 0

Vamos descobrir quem são esses vetores r →

r B A = a   i ^ + 750   k ^

r C A = 750   i ^ + a   k ^

r G A = 375   î + 375   k ^

Então

a   i ^ + 750   k ^ × B   j ^ + 750   i ^ + a   k ^ × C   j ^ + 375   î + 375   k ^ × - P   j ^ = 0

Vamos lembrar que para produto vetorial

i ^ × j ^ = k ^

k ^ × j ^ = - i ^

Aí é só aplicar a distributiva.

Então

a B k ^ - 750   B   i ^ + 750   C   k ^ - a C   i ^ - 375 P   k ^ + 375 P   i ^ = 0

- 750 B - a C + 375 P i ^ + a B + 750 C - 375 P k ^ = 0

Então

- 750 B - a C + 375 P = 0       ( 1 )

E

a B + 750 C - 375 P = 0     ( 2 )

Mas pela simetria do problema, nós podemos deduzir que B = C

Logo

- 750 B - a B + 375 P = 0       ( 1 )

E

a B + 750 B - 375 P = 0     ( 2 )

Passo 3

Olha que coisa sensacional, podemos deixar as três forças de tração em função de a .

Agora de 1, nós tiramos

- B 750 + a = - 375 P

Então

B = 375 P 750 + a = C

Agora só falta calcular a força de reação em A, para isso podemos usar

F y = A + B + C - P = 0

A = P - B - C

A = P - 2 375 P 750 + a = P - 750 P 750 + a = a P 750 + a

Passo 4

Beleza, agora temos todas as forças de reação em função de a , então podemos resolver o item (a), que diz que a = 250   m m .

A = 250 ⋅ 100 750 + 250 = 25   N

B = C = 375 ⋅ 100 750 + 250 = 37,5   N

Passo 5

Agora, para o item (b) a gente tem que achar o valor de a para as três trações serem iguais. E de novo o fato das forças de tração estarem em função de a vai nos ajudar muito, porque basta fazer

A = B = C

E como para qualquer valor de a B = C , só precisamos fazer

A = B

a P 750 + a = 375 P 750 + a

A gente pode cortar P 750 + a

a = 375   m m

Ou

a = 0,375 m

Resposta

(a)

A = 25   N

B = C = 37,5   N

(b)

a = 375   m m

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