Enunciado

4.105. Sobre uma lança de 3 m atua uma força de 3730   N como mostrado na figura. Determine a tração em cada cabo e a reação em A.

Passo 1

Vamos fazer um desenho com os pontos importantes da imagem

Bem, o que precisamos fazer é igualar o momento à 0, já que o sistema está parado, e para isso a gente vai precisar dos vetores posição, vamos calcular então

B D → = - 2,4   i ^ + 2,8   j ^ + 2,4   k ^

Vamos aproveitar e calcular o módulo, a gente já já vai precisar

B D = - 2,4 2 + 2,8 2 + 2,4 2 = 4,4

E agora o outro cabo

B E → = - 2,4   i ^ + 2,8   j ^ - 2,4   k ^

Agora o módulo, mas repare que são os mesmos números que B D → em módulo, então o módulo do vetor é o mesmo

B E = 4,4

E agora podemos determinar as rações nos cabos, porque podemos determinar os vetores unitários que apontam na direção da tração

T B D = T B D B D → B D = T B D 4,4 - 2,4   i ^ + 2,8   j ^ + 2,4   k ^

E

T B E = T B E B E → B E = T B E 4,4 - 2,4   i ^ + 2,8   j ^ - 2,4   k ^

Passo 2

Agora a gente pode usar o esquema do momento

M A = ∑ r × F = 0

Então

M A = r B → × T B D → + r B → × T B E → + r c → × P → = 0

A gente não pode esquecer a força peso, jamais.

r B → = 2,4   i ^

r c → = 3,6   i ^

P → = - 3730   j ^

Agora a gente tem tudo

M A = 2,4   i ^ × T B D 4,4 - 2,4   i ^ + 2,8   j ^ + 2,4   k ^ + 2,4   i ^ × T B E 4,4 - 2,4   i ^ + 2,8   j ^ - 2,4   k ^ +   ( 3,6   i ^ ) × - 3730   j ^

Lembrando

i ^ × i ^ = j ^ × j ^ = k ^ × k ^ = 0

i ^ × j ^ = k ^

i ^ × k ^ = - j ^

j ^ × i ^ = - k ^

j ^ × k ^ = i ^

k ^ × i ^ = j ^

k ^ × j ^ = - i ^

M A = T B D 4,4 6,72   k ^ - 5,76   j ^ + T B E 4,4 6,72   k ^ + 5,76   j ^ - 13428   k ^

M A = - T B D 4,4 5,76 + T B E 4,4 5,76 j ^ + T B D 4,4 6,72 + T B E 4,4 6,72 - 13428 k ^

E igualando os componentes à 0 temos

- T B D 4,4 5,76 + T B E 4,4 5,76 = 0   1

E

T B D 4,4 6,72 + T B E 4,4 6,72 - 13428 = 0   2

Passo 3

De (1) nós tiramos

T B D 4,4 5,76 = T B E 4,4 5,76

A gente pode cortar 5,76 4,4

T B D = T B E

Agora a gente substitui isso na equação (2)

T B D 4,4 6,72 + T B D 4,4 6,72 = 13428

T B D 2 ⋅ 6,7 2 4,4 = 13428

T B D = 13428 2 ⋅ 6,7 2 4,4 ≈ 4396

Então

T B D = T B E = 4396   N

Passo 4

Agora a gente pode determinar a força de reação em A usando o somatório das forças em A.

Vamos começar em x

∑ F x = A x + T B D x + T B E x = 0

∑ F x = A x - 4396 4,4 ⋅ 2,4 - 4396 4,4 ⋅ 2,4 = 0

Então

A x = 2 ⋅ 4396 4,4 2,4 = 4795,63   N  

Agora em y

∑ F y = A y + T B D y + T B E y - P y = 0

∑ F y = A y + 4396 4,4 ⋅ 2 , 8 + 4396 4,4 ⋅ 2 , 8 - 3730 = 0

A y = 2 ⋅ - 4396 4,4 2 , 8 + 3730 = - 1864,9   N  

E por fim em z

∑ F z = A z + T B D z + T B E z = 0

∑ F z = A z + 4396 4,4 ⋅ 2 , 4 - 4396 4,4 ⋅ 2,8 = 0

A y = 0

Então

A = 4795,63   i ^ - 1864,9   j ^   N

Resposta

T B D = T B E = 4396   N

A = 4795,63   i ^ - 1864,9   j ^   N

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