Enunciado

5.52. Três livros uniformes, cada um com peso W e comprimento a , são empilhados como na figura. Determine a distância máxima d que o livro do topo pode se projetar em relação ao da base, de modo que a pilha não tombe.

Passo 1

Cara, ele quer saber o valor de d para o livro de cima não tombar. Percebe que livro de baixo não influencia a rotação dos de cima com seu peso. Apenas os livros de cima podem girar e tombar por causa do peso deles.

O livro de baixo só é um apoio para o segundo livro. Por isso a gente via ignorar ele, e só olhar para os dois livros de cima, que podem tombar por causa do seu peso.

Uma consideração importante é: quando o livro de cima cai, ele cai se seu centro de gravidade estiver à direita do ponto em que a metade dele já não esteja mais apoiado. Ou seja, se ele tiver um comprimento maior que a / 2 não apoiado. Então daí, a gente tira que o espaçamento entre ele e livro de baixo é a / 2 no máximo.

Percebe que se W estiver mais para a direita, esse livro tomba por que não há mais reação para rotação causada por W .

Cada livro tem largura a e peso W . Se a gente posicionar W no centroide de cada livro. E pensar que o livro de baixo dá reações ao livro do meio nos contatos nas extremidades. Nosso DCL fica:

Na eminência de rodar todo o sistema desses dois livros, a reação F 1 é nula, e todo o sistema está parado. Ou seja, vale que o somatório de momento em qualquer ponto é zero. Inclusive no ponto onde temos reação F 2 . Aí a gente pode escrever:

∑ M 2 = 0

Aí a gente vai usar essa equação para achar nosso valor de d em função de w e a . Bora!

Passo 2

Aqui a gente precisa observar que a distância de W do segundo livro até o ponto 2 é

a - d

E para o terceiro mais acima é

d - a 2

Aí nosso somatório de momentos em torno de 2 , considerando o sentido anti-horário positivo, é:

∑ M 2 = 0

W ⋅ a - d - W ⋅ d - a 2 = 0

Então

d = 3 a 4

Resposta

d = 3 a 4

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