Enunciado

69. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 30 ° em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.

Passo 1

E aí? O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir o estado de tensão equivalente a um elemento orientado a 30 ° no sentido horário em relação ao mostrado.

E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:

- a tensão normal no eixo x é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x = 7   M P a

- a tensão normal no eixo y é positiva porque está saindo da seção e vale:: σ y = 8   M P a

- a tensão de cisalhamento é positiva porque as setinhas dela apontam para o quadrante positivo, e vale τ x y = 15   M P a

Bora começar!

Passo 2

Para construir o nosso famoso Círculo de Mohr a primeira coisa que temos que fazer é determinar o centro do círculo, que será dado através da fórmula da tensão média σ m e d abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = 7   M P a + 8   M P a 2

σ m e d = 7,5   M P a   ( C e n t r o   d o   c í r c u l o )

Depois, a próxima coisa que temos que fazer é achar o raio R do círculo através da fórmula da tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que é dada por:

R = τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nosso raio como:

R = τ m á x = 7   M P a - 8   M P a 2 2 + ( 15   M P a ) 2

R = τ m á x ≅ 15,00833   M P a

E podemos achar as coordenadas do nosso elemento atual pelas expressões:

X = σ x ,   - τ x y = 7 ,   - 15

Y = σ y ,   τ x y = 8 ,   + 15

Aí a gente faz uma reta entre eles, tá bem?

Passo 3

Obtido o raio e o centro, já podemos construir o nosso círculo, que vai ter a seguinte cara da figura abaixo.

Ah! Só lembrando aqui que nosso elemento novo está orientado de um ângulo de 3 0 ° no horário, de modo que ele vai aparecer no nosso círculo com o dobro do seu valor, isto é,   60 ° .

Como a gente posiciona ele? Pegamos a reta do elemento atual e giramos 60 ° no sentido horário.

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo φ , que se for olhar bem o círculo, é dado por:

tan ⁡ φ = 15   M P a 7,5   M P a - 7,0   M P a

tan ⁡ φ = 30

φ = tan - 1 ⁡ ( 30 )

φ = 88,09 °

E o nosso ângulo   θ que queremos para realizar nossos cálculos é dado pela subtração abaixo, conforme dá pra ver no círculo de Mohr:

θ = φ - 60 °

θ ≅ 88,09 ° - 60 °

θ ≅ 28,09 °

Passo 4

Aí a gente pode achar as tensões pelas coordenadas dos pontos do novo elemento.

P = σ x ' ,   - τ x ' y '

Q = σ y ' ,   τ x ' y '

Agora, basta olhar o círculo novamente para encontrar as fórmulas de nossas tensões de estado plano, que são dadas por:

σ x ' ≅ 7,5 - R cos ⁡ 28,09 °

σ y ' ≅ 7,5 + R cos ⁡ 28,09 °

τ x ' y ' ≅ R sen ⁡ 28,09 °

Substituindo os valores numéricos pertinentes, chegamos à:

σ x ' ≅ ( 7,5 - 15,00833 cos ⁡ 28,09 ° )   M P a

σ y ' ≅ ( 7,5 + 15,00833 cos ⁡ 28,09 ° )   M P a

τ x ' y ' ≅ ( 15,00833 sen ⁡ 28,09 ° )   M P a

E aqui está o resultado:

σ x ' ≅ - 5,24   M P a

σ y ' ≅ 20,74   M P a

τ x ' y ' ≅ 7,93   M P a

Pra não perder a viagem, vamos fazer também fazer o esboço de nosso querido elemento né; que vai ter a seguinte aparência:

Resposta

σ x ' ≅ - 5,24   M P a

σ y ' ≅ 20,74   M P a

τ x ' y ' ≅ 7,93   M P a

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