Enunciado

71. Determine

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = 10   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = 80   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o  

τ x y = - 60   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   2 °   e   4 °   q u a d r a n t e

A primeira coisa que temos que fazer é determinar a tensão média σ m e d , através da fórmula abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = 10   M P a + 80   M P a 2

σ m e d = 45   M P a  

Depois, o próximo passo é achar a tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que é dada por:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nossa tensão máxima como:

τ m á x = 10   M P a - 80   M P a 2 2 + ( - 60   M P a ) 2

τ m á x ≅ 69,5   M P a

Passo 2

(a) Obtido a tensão média e a tensão de cisalhamento máxima, todo mundo já tá careca de saber a fórmula das tensões principais, que é dada abaixo:

σ 1,2 = σ m e d ± τ m á x

Esssa relação nos fornece duas tensões uma máxima σ 1 e outra mínima σ 2 :

σ 1 = σ m e d + τ m á x

σ 1 ≅ 45   M P a + 69,5   M P a

σ 1 ≅ 114,5   M P a

σ 2 = σ m e d - τ m á x

σ 2 ≅ 45   M P a - 69,5   M P a

σ 2 ≅ - 24,5   M P a

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo de estado plano θ p , que é dado pela fórmula abaixo:

tan ⁡ 2 θ p = 2 τ x y σ x - σ y

tan ⁡ 2 θ p = 2 ⋅ ( - 60   M P a ) 10   M P a - 80   M P a )

2 θ p = tan - 1 ⁡ ( 1,7114 )

θ p = 29,87 °   ( a n t i - h o r á r i o )

E o nosso ângulo   θ p 1 que queremos para especificar a orientação do elemento é exatamente igual a   θ p :

θ p 1 = θ p

θ p 1 = 29,87 °

Passo 3

(b) Mas olha só que beleza! Esse item pede a tensão de cisalhamento máximo e a tensão normal média. Acontece que já obtemos elas lá no P a s s o   1 , como ferramenta para ajudar a calcular as tensões principais. Não acredita!? Pois olha de volta o P a s s o   1 :

σ m e d = 45   M P a  

τ m á x ≅ 69,5   M P a

Agora só falta determinar o ângulo de cisalhamento θ s , que é dado através da fórmula abaixo:

tan ⁡   2 θ s = σ x - σ y 2 τ x y

Onde substuindo os valores numéricos pertinentes a cada variável, chegamos à:

tan ⁡   2 θ s = 10   M P a - 80   M P a 2 ( - 60   M P a )

tan ⁡   2 θ s = 0,583

2 θ s = tan - 1 ⁡ 0,583

2 θ s = 30,2 °

θ s = 15,1 °   ( h o r á r i o )  

E o nosso ângulo   θ s 1 que queremos para especificar a orientação do elemento é exatamente igual a   θ s :

θ s 1 = 15,1 °

Pra não perder a viagem, vamos fazer também fazer o esboço de nosso querido elemento né; que vai ter a seguinte aparência:

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 114,5   M P a

σ 2 ≅ - 24,5   M P a

θ p 1 = 29,87 °

(b)

σ m e d = 45   M P a  

τ m á x ≅ 69,5   M P a

θ s 1 = 15,1 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de θ para os quais a intensidade da tensão de cisalhamento τ x ' y ' é igual ou menor que 8 ksi.
Determine os planos e tensões principais para o estado plano de tensão resultante da superposição dos dois estados de tensão mostrados.
Para o estado de tensão mostrado, sabe-se que as tensões normal e de cisalhamento estão direcionadas conforme mostra a figura e que σ x = 96,5 MPa, σ y = 62,1 MPa e σ m i n = 34,5 MPa. Determine (a) a
Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de θ para os quais a tensão normal σ x ' é igual ou menor que 100 MPa.Obs: na verdade os valores para a tensão nesse exercício estão
Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de θ para os quais a tensão normal σ x ' é igual ou menor que 50 MPa.Obs: na verdade os valores para a tensão nesse exercício estão e