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6.21 Determine a maior massa m do bloco suspenso de modo que a força em qualquer membro da treliça não exceda 30   k N   ( T ) ou 25   k N   ( C )

Passo 1

Fala ai galerinha bonita, tudo beleza?!

Saca só, o enuciado deu pra gente um sistema de treliças com uma apoio sistentando um bloco através de uma corda, e dado o sistema, o enunciado pede pra gente encontrar o valor máximo para a massa do bloco de modo que a força em qualquer membro da treliça não exceda 30   kN   (tração) ou 25   kN   (compressão).

Vamos usar o método dos nós abordado no começo do capitulo.

Precisamos fazer o diagrama de corpo livre para o ponto D :

Podemos calcular os ângulos usando relações trigonométricas:

tangente = cateto oposto cateto adjacente

tg ⁡ α = 3,5 6

α = 30,3 °

E:

tg ⁡ β = 6 6

β = 45 °

Passo 2

Vamos montar as equações para x e para y , o somatório das forças em cada eixo deve ser igual a zero.

∑ F x = 0

- T - F C D sen ⁡ α - F D E cos ⁡ β = 0

T + F C D sen ⁡ 45 ° + F D E cos ⁡ 30,3 ° = 0

E do mesmo modo no eixo y :

∑ F y = 0

- T - F C D cos ⁡ α - F D E sen ⁡ β = 0

T + F C D cos ⁡ 45 ° + F D E sen ⁡ 30,3 ° = 0    

Diminuindo a segunda equação da primeira, obtemos:

T + F C D sen ⁡ 45 ° + F D E cos ⁡ 30,3 ° - T - F C D cos ⁡ 45 ° - F D E sen ⁡ 30,3 ° = 0

Como, sen ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 ° = 2 2 :

F C D sen ⁡ 45 ° - F C D cos ⁡ 45 ° = 0

Então a equação fica:

F D E cos ⁡ 30,3 ° - F D E sen ⁡ 30,3 ° = 0

F D E cos ⁡ 30,3 ° - sen ⁡ 30,3 ° = 0

F F E = 0

Com o valor de F D E podemos encontrar F C D , vamos usar a primeira equação:

T + F C D sen ⁡ 45 ° + F D E cos ⁡ 30,3 ° = 0

T + F C D sen ⁡ 45 ° + 0 ⋅ cos ⁡ 30,3 ° = 0

Logo:

T + F C D 2 2   = 0

F C D 2 2   = - T

F C D = - 2 2 T

Portanto:

F C D = - 2 T

O sinal negativo indica que adotamos a direção errada para o vetor F C D , portanto essa força não está tracionando o membro CD, como está desenhado, ela é uma força de compressão.

F C D = 2 ⋅ T   C

Passo 3

Como F D E = 0 , se olharmos para o nó E vamos observar que

F E F = 0

F C E = 0

Como F C E = 0 , se olharmos para o nó C , vamos ver que:

F C F = 0

e para manter o equilíbrio:

F B C = F C D

F B C = 2 ⋅ T   C

Olhado para F :

F B F = 0

F F G = 0

Olhando para B :

F B G = 0

da mesma forma que em C , para manter o equilibrio:

F A B = F B C

F A B = 2 ⋅ T   C

Passo 4

Para terminar a analise, vamos fazer o diagrama de corpo livre para o nó A , pois ainda precisamos descobrir a força que atua no mebro AG. Perceba que o apoio desse nó não realiza força na vertical, somente na horizontal, então:

Onde F é a força que a parede faz sobre o nó A.

Passo 5

O somatório de forças em x e em y é igual a zero, como só precisamos de F A G vamos montar a equação só para y :

∑ F y = 0

F A G - F A B sen ⁡ 45 ° = 0

F A G = F A B 2 2

F A G = 2 ⋅ T 2 2

F A G = T

E como está no diagrama essa é uma força de tração.

Passo 6

Agora precisamos descobrir o valor da massa do bloco.

A máxima, e única, tração sofrida nessa treliça é no membro AG, como a máxima tração deve ser de 30   k N , escrevemos assim

F A G = T

F A G = m g

30 ⋅ 10 3 = m ⋅ 9,81

Tal que:

m = 30 ⋅ 10 3 9,81

m = 3058   kg

Já a máxima compressão, que deve ser de 25 k N , ocorre nos membros AB, BC e CD e valem:

F A B = 2 ⋅ T

F A B = 2 ⋅ m g

25 ⋅ 10 3 = 2 ⋅ m ⋅ 9,81

Logo:

m = 25 ⋅ 10 3 9,81 2

m = 1802   k g

Então a maior massa do bloco que não excede os limites dados é:

m = 1802   kg

Resposta

m = 1802   kg

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