Enunciado

63- Duas forças F 1 e F 2 no espaço têm a mesma intensidade F . Demonstre que o momento de F 1 em relação a linha de ação de F 2 é igual ao momento de F 2 em relação a linha de ação de F 1 .

Passo 1

Vamos desenhar duas forças em vetores quaisquer:

Vamos considerar que no vetor onde se encontra a força F 2 tem um ponto A e a força F 1 tem um ponto B . E o vetor da força F 1 e F 2 são iguais a:

F 1 → = F 1 λ 1

F 2 → = F 2 λ 2

Passo 2

O momento causado por F 2 no vetor onde encontra-se F 1 vale:

M 2 → 1 = λ 1 . r A B × F 2 →

Pois é a distância relativa do ponto B para A . Agora o momento causado pela força F 1 no vetor onde encontra-se F 2 vale:

M 1 → 2 = λ 2 . r B A × F 1 →

Pois é a distância relativa do ponto A para B e:

r B A = - r A B

Pois é o sentido contrário de um para o outro.

O que é:

M 2 → 1 = F 2 λ 2 r A B × λ 1

M 1 → 2 = F 1 λ 1 r B A × λ 2

Pois F 1 → e F 2 →   são vetores e F 1 e F 2 são escalares.

Passo 3

Porém F 1 e F 2 tem a mesma intensidade e que valem F . Logo:

F 1 = F 2 = F

M 2 → 1 = F λ 2 . r A B × λ 1

M 1 → 2 = F λ 1 . r B A × λ 2

Agora aplicando r B A = - r A B

Temos:

M 2 → 1 = F λ 2 . r A B × λ 1

M 1 → 2 = - F λ 1 . r A B × λ 2

Porém existe uma propriedade de determinante que nos diz que se o determinante de:

det ⁡ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = L

Se invertermos uma linha com a outra teremos:

det ⁡ c 1 c 2 c 3 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 = - L

O sinal do determinante troca. Logo:

F λ 2 . r A B × λ 1 = - F λ 1 . r A B × λ 2

Então o momento de F 1 em F 2 é igual ao momento de F 2 em F 1 , ou:

M 1 → 2 = M 2 → 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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