Enunciado

Resolva o Problema 7.26 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Tá legal! Para encontrar os planos e tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K, precisamos ter o círculo de Mohr desenhado para esse ponto. Só que para desenhar o círculo, precisamos das tensões aplicadas nesse ponto, que serão geradas pela torção e pelo momento aplicadas na barra. Então vamos precisar encontrar esses valores antes. A torção e o momento fletor serão gerados pela força de 10 kN, já que ela não está aplicada no centro da barra AB.

Com o círculo desenhado e os valores encontrados, vem a parte fácil, vamos aplicar as fórmulas para encontrar a tensão média e o raio do círculo, e aí conseguimos encontrar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima para o ponto K.

Passo 2

Beleza! Como a força de 10 kN está deslocada com relação ao centro do eixo, ela irá gerar torção na barra. A torção será dada pela força multiplicada pela distância até o centro da barra AB, ou seja:

T = 10.10^3 (0,2) -> T = 2000 N . m

Agora vamos relembrar a equação para a tensão de cisalhamento gerada por torção, que é dada por:

tau = (T c)/(J)

Em que T é o torque aplicado, c é a distância do centro até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia, lembrando que o momento polar de inércia de uma seção vazada é dada por:

J = (pi)/(2) (r_e^4 - r_i^4)

Em que r_e é o raio externo e r_i é o raio interno da seção. O raio externo será metade do diâmetro externo, ou seja:

r_e = (d_e)/(2) = (0,102)/(2) -> r_e = 0,051 m

E o raio interno será o raio externo menos a espessura da parede dada no enunciado, então teremos:

r_i = r_e - t = 0,051 - 0,006 -> r_i = 0,045 m

Então, substituindo a expressão para o momento polar de inércia na equação para a tensão de cisalhamento e sabendo que nosso ponto K está na superfície, ou seja, em c = r_e , a equação se torna:

tau = (T r_e)/((pi)/(2) (r_e^4 - r_i^4)) -> tau = (2 T r_e)/(pi (r_e^4 - r_i^4))

Então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, sendo o T e os raios os valores que encontramos, teremos:

tau = (2 (2000) (0,051))/(pi (0,051^4 - 0,045^4)) -> tau = 24,37 M P a

Passo 3

Agora nós vamos encontrar a tensão normal causado pelo momento fletor que existe na barra. Lembrando que essa tensão pode ser escrita como:

sigma = - (M y)/(I)

Em que M é o momento no ponto de interesse, y é a distância do centro até o ponto de estudo e I é o momento de inércia da barra. Beleza, sabemos que no nosso caso, a distância y vai ser o próprio raio externo da seção, ou seja:

y = r_e -> y = 0,051 m

Beleza, agora vamos calcular o momento no ponto K. Sabendo que o momento é a força vezes o braço de alavanca, que nesse caso é a distância em y, então para o nosso caso, teremos:

M = F d = 10.10^3 (0,15) -> M = 1500 N . m

Beleza! Agora falta o momento de inércia, que para uma seção circular vazada é dado por:

I = (pi)/(4) (r_e^4 - r_i^4)

Substituindo os valores dos raios encontrados no passo 2, teremos:

I = (pi)/(4) (0,051^4 - 0,045^4) -> I = 2,0927 . 10^(- 3) m^4

Agora sim podemos encontrar o valor da tensão no ponto K, então teremos:

sigma = - (1500 (0 , 051))/(2,0927 . 10^(- 6)) -> sigma = - 36,56 M P a

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos as tensões, podemos desenhar o elemento diferencial de tensões para o ponto K, onde teremos:

Então, as tensões para esse elemento diferencial serão:

sigma_x = 0

sigma_y = - 36,56 M P a

tau_x y = 24,37 M P a

Com isso, podemos calcular o valor da tensão média, que será dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (0 + ( - 36,56 ))/(2) -> sigma_m e d = - 18,28 M P a

Então, teremos os seguintes pontos para o círculo de Mohr:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (0 ; - 24,37) M P a

Y : (sigma_y , tau_x y) = (- 36,56 ; 24,37) M P a

C = (sigma_m e d , 0) = (- 18,28 ; 0) M P a

E, agora então podemos encontrar o raio para círculo de Mohr, que é dado pela fórmula:

R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = sqrt(((0 - ( - 36,56 ))/(2))^2 + (24,37)^2) -> R = 30,46 M P a

Passo 5

Com as informações que encontramos no passo 4, temos tudo o que precisamos para esboçar o círculo de Mohr, que então será:

Então, através do círculo de Mohr, podemos ver que as tensões principais, que são as tensões nos pontos A e B, podem ser encontradas através:

sigma_a = sigma_m e d + R = - 18,28 + 30,46 -> sigma_a = 12,18 M P a

sigma_b = sigma_m e d - R = - 18,28 - 30,46 -> sigma_b = - 48,74 M P a

Shoow! Agora, a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto será o próprio raio do círculo de Mohr, já que o círculo é simétrico com relação ao eixo da tensão normal. Dessa forma, teremos:

tau_m a x = R -> tau_m a x = 30,46 M P a

Prooonto! Eram essas 3 informações que o enunciado havia pedido, terminamos por aqui!

Resposta

sigma_a = 12,18 M P a

sigma_b = - 48,74 M P a

tau_m a x = 30,46 M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O estado plano de tensão mostrado ocorrerá em um ponto crítico em um tubo feito de uma liga de alumínio para a qual σ L T = 75M P a e σ L C = 150M P a . Usando o critério de Mohr, determine a tensão d
A barra de alumínio fundido indicada na figura é feita de uma liga para a qual σ L T = 60M P a e σ L C = 120M P a . Usando o critério de Mohr, determine a intensidade do torque T para a qual se espera
Um componente de máquina é feito de um tipo de ferro fundido para o qual σ L T = 55,2M P a e σ L C = 137,9M P a . Para cada um dos estados de tensão indicados, e usando o critério de Mohr, determine a
Determine os planos principais e as tensões principais para o estado plano de tensões que resulta da superposição dos dois estados planos mostrados.
Para o estado de tensões mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) σ z = + 4k s i , (b) σ z = - 4k s i , (c) σ z = 0 .