Enunciado

A estrutura está sujeita ao carregamento mostrado. O membro A D é sustentado por um cabo A B e uma esfera em C , e está encaixado em um furo circular liso em D . O membro E D é sustentado por uma esfera em D e um poste que se encaixa em um furo circular liso em E . Determine as componentes x ,   y ,   z da reação em E e a tração no cabo A B .

Passo 1

Oi pessoal? Vamos para mais um exercício?

O exercício quer que determinemos as componentes x ,   y ,   z da reação em E e a tração no cabo A B .

Vamos identificar as posições dos pontos de interesse. Temos que:

E = 0 i + 0 j + 0 k

A = 0,6 i + 0,9 j + 0 k

B = 0 i + 0,9 j + 0 , 8 k

C = 0 i + 0,9 j + 0 k

D = 0 i + 0 , 5 j + 0 k

F = 0 , 3 i + 0,9 j + 0 k

A força no ponto F será:

F = - 2,5 k   k N

Passo 2

Outro ponto importante é esboçar o diagrama de corpo livre para ter ideia das reações que agem no sistema:

Vamos representar a força de tração no cabo F A B como um vetor. Temos que:

F A B = F A B r A B r A B

F A B = F A B - 0,6 i + 0,8 k - 0,6 2 + 0,8 2

F A B = F A B - 0,6 i + 0,8 k

Aplicando o momento com relação ao eixo y , temos que:

∑ M y = 0

- 0,8 F A B 0,6 + ( 2,5 ) ( 0,3 ) = 0

F A B = 0,75 0,48

F A B = 1,5625   k N

Aplicando o equilíbrio das forças em z , temos que:

∑ F z = 0

0,8 F A B + D z - F = 0

D z = 2,5 - 0,8 1,5625

D z = 1,25   k N

Passo 3

Aplicando o momento com relação ao eixo x , temos que:

∑ M x = 0

M D x + D z 0,5 + 0,8 F A B 0 , 9 + ( 2,5 ) ( 0 , 9 ) = 0

M D x = - 1,25 0,5 - 0,8 1,5625 0,9 + 2,25

M D x = 0,5   k N ⋅ m

F A B = 1,5625   k N

O resultado positivo indica tração.

Aplicando o equilíbrio das forças em x , temos que:

∑ F x = 0

- 0 , 6 F A B + D x + C x = 0

C x + D x = 0,9375

Aplicando a análise do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo z no ponto D , temos que:

∑ M D z = 0

M D z - C x 0,4 + 0 , 6 F A B 0 , 4 = 0

M D z - 0,4 C x = - 0,375

Passo 4

Vamos considerar agora somente o membro E D . Temos que:

A análise de equilíbrios nos diz que:

∑ F z = 0

F D - D z = 0

F D = 1,25   k N

Do momento com relação ao eixo y no ponto E , temos que:

∑ M E y = 0

M E y = 0

Do momento com relação ao eixo x no ponto E , temos que:

∑ M E x = 0

M E x - M D x + ( F D - D z ) ( 0,5 ) = 0

M E x = 0,5   k N ⋅ m

Do momento com relação ao eixo z no ponto E , temos que:

∑ M E z = 0

M D z - 0,5 D x = 0

Passo 5

Encontramos anteriormente que:

M D z - 0,4 C x = - 0,375

E:

M D z - 0,5 D x = 0

Portanto, subtraindo as equações, temos que:

0,5 D x - 0,4 C x = - 0,375

Sabemos, também que:

C x + D x = 0,9375

C x = - D x + 0,9375

Portanto:

0,5 D x - 0,4 - D x + 0,9375 = - 0,375

0,9 D x = - 0,375 + 0,375

D x = 0

E:

C x = 0,9375   k N

Se D x = 0 , do equilíbrio, temos que:

E x - D x = 0

E x = 0

E:

M D z - 0,5 D x = 0

M D z = 0

Resposta

F A B = 1,5625   k N   ( t r a ç ã o )

M E y = 0

M E x = 0,5   k N ⋅ m

E y = 0

E x = 0

M D z = 0

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