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Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de θ para os quais a tensão normal σ x ' é igual ou menor que 100 MPa.

Obs: na verdade os valores para a tensão nesse exercício estão errados, os valores corretos para as tensões são na verdade 90 MPa ao invés de 124,1 MPa e 60 MPa ao invés de 82,7 MPa.

Passo 1

Tá legal! Para resolver esse exercício, vamos precisar desenhar o círculo de Mohr para poder analisar os valores possíveis de θ para a condição dada. E a análise vai ser praticamente toda por trigonometria.

Agora, para desenhar o círculo de Mohr, vamos precisar calcular a tensão média, o raio do círculo e as direções dos planos e tensões principais. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nossas componentes de tensão que vem do elemento dado no enunciado, onde temos:

σ x = 90   M P a

σ y = 0

τ x y = - 60   M P a

Agora, vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 90 + 0 2 → σ m e d = 45   M P a

Agora, vamos calcular o raio do nosso círculo de Mohr, que é dado por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 90 - 0 2 2 + ( - 60 ) 2 → R = 75   M P a

Beleza! Com esses dados conseguimos esboçar nosso círculo de Mohr, que será dado por:

Passo 3

Beleza! Então, com o círculo de Mohr do passo 2, podemos encontrar as direções principais por trigonometria, onde teremos:

t g   2 θ P = O Y O C = τ x y C B - O B = τ x y σ x - σ y 2 → t g   2 θ P = 2 τ x y σ x - σ y

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   2 θ P = 2 60 90 - 0 → θ P = 26,56 °

Beleza, temos todas as informações com relação ao nosso círculo para o estado padrão. Agora vamos delimitar no círculo de Mohr a região onde temos a tensão σ x ' ≤ 10 0   M P a , então teremos:

Podemos ver que os valores aceitáveis serão os que estão dentro do arco de circunferência DBE. Agora, vamos encontrar o valor para o ângulo ϕ , que pode ser encontrado através da seguinte relação trigonométrica:

c o s   2 ϕ = 100 - σ m e d R

Agora, nós conhecemos o valor de σ m e d , que é a coordenada do centro do círculo e também o seu raio, então, o valor de ϕ será:

c o s   2 ϕ = 100 - 45 75 → ϕ = 21,42 °

Passo 4

Beleza! Agora nós vamos encontrar os ângulos entre os pontos que já temos até os limites do arco para os valores possíveis de θ , sempre lembrando que uma rotação θ no elemento diferencial equivale a uma rotação de 2 θ no círculo de Mohr. Então, começando do ponto X até o ponto D, teremos:

θ X D = ϕ - θ P = 21,42 ° - 26,56 ° → θ X D = - 5,14 °

Agora, do ponto X até o ponto E teremos:

θ X E = θ X D + 180 ° - 2 ϕ = - 5,14 ° + 180 ° - 2 ( 21,42 ° ) → θ X E = 132,02 °

Com esses dois valores, nosso intervalo para θ será:

- 5,14 ° ≤ θ ≤ 132,02 °

Feshooow!

Resposta

- 5,14 ° ≤ θ ≤ 132,02 °

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