Enunciado

Determine os planos e tensões principais para o estado plano de tensão resultante da superposição dos dois estados de tensão mostrados.

Passo 1

Eaeee pessoal, beleza? Bora pra mais um exercício? Então tá, para determinar os planos e tensões principais para o estado plano de tensão resultante dos dois estados, precisamos primeiro expressar o estado de tensões da direita em termos de suas componentes horizontais e verticais, e para fazer isso, vamos contar com o auxílio do círculo de Mohr, rotacionando o elemente de 45°, ou seja, percorrendo 90° no círculo, para encontrar o estado desejado.

Depois disso é só somar as componentes dos dois estados para obter o estado resultante e aí desenhar o círculo de Mohr para esse estado para poder encontrar os planos e as tensões principais do estado resultante. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar desenhando o círculo de Mohr para o estado da direita, onde teremos:

Como o estado da direita dado é um estado de tensão puro, ficou fácil encontrar os pontos X’ e Y’ desse estado, e podemos calcular o raio desse círculo pela diferença entre as duas tensões, onde teremos:

R = σ x ' - σ y ' 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = 6 - - 4 2 → R = 5   k s i

Dessa forma, ao rotacionar o elemento diferencial de 45° no sentido horário, ou seja, 90° no círculo de Mohr, os novos pontos serão X e Y já desenhados no círculo acima. A tensão de cisalhamento para esses pontos será o próprio raio do círculo, ou seja:

τ x y = 5   k s i

Agora, a coordenada para a tensão, que é a mesma para os dois pontos, ou seja, teremos σ x = σ y , pode ser encontrada pela diferença:

σ = C Y ' - O Y ' = R - O Y ' = 5 - 4

σ x = σ y = 1   k s i

Passo 3

Beleza! Agora, com as tensões normais e de cisalhamento encontradas no passo 2, podemos desenhar o seguinte estado de tensão:

Então, somando as componentes desse elemento com as componentes do elemento da esquerda fornecido no enunciado, chegamos no seguinte elemento resultante:

E, para esse elemento diferencial, teremos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 4

Beleza, estamos quase lá! Agora, para encontrar a direção dos planos principais, basta encontrar o valor de θ P mostrado no círculo de Mohr do passo 3, então, por trigonometria, teremos:

t g   2 θ P = F X C F = τ x y F O - C O → t g   2 θ P = τ x y σ x - σ m e d

Então, para encontrar o valor de θ P , precisamos encontrar antes a tensão média, pois os outros dois valores da equação nós já temos lá do elemento de tensão. Então, sabendo que a tensão média é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 6 + ( - 2 ) 2 → σ m e d = 2   k s i

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para θ P , chegamos em:

t g   2 θ P = 3 6 - 2 → θ P = 18,43 °

Então, sabendo que essa é uma direção principal, e a outra fica a uma rotação de 90° do elemento diferencial (e 180° no círculo de Mohr), a outra direção principal será:

θ P = 18,43 ° + 90 ° → θ P = 108,43 °

Estamos quase lá, faltam só as tensões principais agora.

Passo 5

Agora para encontrar as tensões principais ficou fácil, já que elas são dadas por:

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Nós já temos o valor de σ m e d , que vimos ali em cima e o valor do raio do círculo precisamos calcular. Então, tomando como base o círculo de Mohr esboçado no passo 3, temos a seguinte relação para o raio:

R 2 = F X 2 + C F 2 = τ x y 2 + σ x - σ m e d 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R 2 = 3 2 + 6 - 2 2 → R = 5   k s i

Agora sim podemos calcular as tensões principais, que serão então:

σ 1 = σ m e d + R = 2 + 5 → σ 1 = 7   k s i

σ 2 = σ m e d - R = 2 - 5 → σ 2 = - 3   k s i

Prooonto! Fechamos mais um exercício. Valeeu!

Resposta

θ P = 18,43 ° ;   θ P = 108,43 °

σ 1 = 7   k s i

σ 2 = - 3   k s i

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