Enunciado

Determine a área de superfície e o volume do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Falaa, querido!

O problema pede que encontremos a área de superfície e o volume do sólido de revolução. Lembre-se do Teorema de Pappus e Guldinus, se precisar de ajuda sobre esse teorema tem ótimas vídeo aulas aqui mesmo no Responde Aí, mas basicamente o teorema diz que:

A área de superfície é dada pela multiplicação da linha de que gera o sólido (curva de geração), pelo ângulo em radianos (no nosso caso θ = 360 ° = 2 π ) e pela distância perpendicular do eixo de giração até o centroide da curva.

A S = 2 π L r -

O volume do solido é dado pela multiplicação da aréa que gera o sólido pelo ângulo em radianos (no nosso caso θ = 360 ° = 2 π ) e pela distância perpendicular do eixo de giração até o centroide da curva

V = A × 2 π x -

Sendo x - a coordenada do centro de massa em relação ao eixo x . Já que essa é a distância perpendicular do nosso centroide até o eixo de giração z .

Bora!

Passo 2

Repara que nosso sólido é oco, então temos essa situação:

A curva de geração é do sólido é essa amarela. E a área de geração é essa verde. Vamos trabalhar para achar o volume primeiro.

A a área da figura que será rotacionada:

A r e t a g . = ( 1,5 ⋅ 0,9 ) = 1,35   m 2

A t r i â n g u l o . = 1 2 ⋅ ( 1,2 + 0,9 ) = 0,54   m 2

A t o t a l = 1,89   m 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a coordenada x do centro de massa da figura.

Temos uma figura composta. Você pode encontrar o centro de massa dessas figuras no final do livro. O centro de massa total vai ser a média ponderada (em relação a área de cada figura) entre esses centros:

x - = 1,5 + 0,9 2 ⋅ 1,5 ⋅ 0,9 + 1,5 + 0,9 3 1,2 2 0,9 0,9 1,5 + 1,2 2 0,9

x - = 1,907   m

Passo 4

Então agora usamos de fato o Teorema de Pappus e Guldinus:

V = A × 2 π x -

V = 2 π x - A t o t a l = 2 π ⋅ 1,907 ⋅ 1,89 = 22,64     m 3

Passo 5

Para área da superfície vamos dar uma mudada na fórmulinha do passo 1. Como a gente tem uma figura composta, nós vamos calcular:

A S = 2 π ∑ L r -

Sendo L o comprimento de uma linha de geração e r - a coordenada x do centroide dessa linha.

Aqui difere do caso do volume porque lá nosso centroide era em relação às áreas e aqui é em relação as retas.

Bora calcular. Para a reta inclinada, o centroide é no meio da sua projeção em x . Para as retas horizontais, o centroide é no meio delas. E para as retas verticais, o centroide é na sua coordenada x . Fica assim:

∑ r - L = 1,5 + 0,9 2 0,9 2 + 0,12 2 + 1,5 + 0,9 1,5 + 1,5 + 0,9 2 0,9 + 1,5 1,2 + 1,5

A S = 2 π ∑ r - L = 77,5   m 2

Resposta

A = 77,5   m 2

V = 22,64   m 3

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