Enunciado

9.103 Determine a altura h à qual o líquido deve ser vertido no copo de papel cônico de modo que atinja a metade da área de superfície no interior do copo.

Passo 1

Para gerarmos a superfície do copo inteiro devemos fazer a revolução do segmento de reta a seguir:

Essa área deve ser duas vezes maior que a gerada pela revolução dessa reta:

Podemos escrever essa relação dessa forma:

A 2 = 1 2 ⋅ A 1

A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π . Então a equação vai ficar assim:

θ r - L 2 = 1 2 ⋅ θ r - L 1

2 π r - L 2 = 1 2 ⋅ 2 π r - L 1

r - L 2 = 1 2 ⋅ r - L 1

Passo 2

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da curva de geração.

O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro, então é fica fácil de calcularmos:

r - 1 = 50 2 = 25   m

e

r - 2 = h / 3 2 = h 6   m

E L é o comprimento da curva de geração, podemos usar pitagoras para descobrir:

L 1 2 = 50 2 + 1 50 2

L 1 = 5 0 2 + 1 50 2 = 158,1   m

O L 2 vai ser calculado em função de h , também por pitagoras:

L 2 2 = h 3 2 + h 2

L 2 = h 2 9 + h 2

L 2 = 10 h 2 9

L 2 = h 10 3

Passo 3

Agora só multiplicar aplicar na fórmula:

r - L 2 = 1 2 ⋅ r - L 1

h 6 h 10 3 = 1 2 ⋅ 25 158,1

h 2 = 3 10 ⋅ 6 ⋅ 1 2 ⋅ 25 158,1

h 2 = 11.249

h = 106,1   m m

Resposta

h = 106,1   m m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9.86 Determine a área da superfície da cobertura da estrutura se ela é formada girando-se a parábola em torno do eixo y .
9.93 O alimentador está cheio até o topo com carvão. Estime o volume do carvão se os vãos (espaço vazio) correspondem a 35% do volume do alimentador.
9.96 Determine a área da superfície do tanque, que consiste em um cilindro e uma tampa hemisférica.
9.95 Determine a quantidade aproximada de tinta necessária para cobrir a superfície externa do tanque aberto. Suponha que um litro de tinta cubra 10m 2 .
9.94 O tanque de parede fina é fabricado a partir de um hemisfério e de uma casca cilíndrica. Determine as reações verticais que cada uma das pernas posicionadas simetricamente exerce sobre o solo se