Enunciado

9.91 Determine a área da superfície e o volume do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 5 segmentos de reta:

A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ ∑ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo z , ao centroide da curva de geração.

O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro, então é fica fácil de calcularmos:

r - a z u l = 7 5   m m

r - v e r d e = 75 + 5 0 2 = 100   m m

r - a m a r e l o = 75 + 50 + 50 2 = 150   m m

r - l a r a n j a = 75 + 50 + 50 2 = 150   m m

r - v e r m e l h o = 75 + 50 2 = 100   m m

E L é o comprimento da curva de geração, nós já sabemos o tamanho de:

L v e r m e l h o = 50   m m

L a z u l = 700   m m

L v e r d e = 50   m m

Para as retas amarela e laranja podemos usar pitagoras:

L a m a r e l a 2 = 50 2 + 40 0 2

L a m a r e l a = 50 2 + 400 2 = 403,1   m m

L l a r a n j a 2 = 50 2 + 3 00 2

L l a r a n j a = 50 2 + 300 2 = 304,1   m m

Passo 2

Agora só multiplicar aplicar na fórmula:

A = 2 π 75 700 + 100 50 + 150 403,1 + 150 304,1 + 1 0 0 50

A = 1 , 06 ⋅ 10 6   m m 2

Para transformar milimetro em metro devemos multiplicar o milímetro por 10 - 3 , então para transformar milímetro ao quadrado em metro ao quadrado, precisamos multiplicar o milímetro ao cubo por 10 - 3 2

A = 1,06 ⋅ 10 6 10 - 3 2

A = 1,06   m 2

Passo 3

E para calcular o volume, vamos separar o sólido em um triângulo e um retângulo, para fazer a revolução deles:

A fórmula para determinar o volume é:

V = θ ∑ r - A

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração. O centroide de um retângulo fica bem no meio dele, então

r - a m a r e l o = 75 + 50 2

r - a m a r e l o = 100   m m

E o centroide de um triângulo é tabelado, ele vai ficar:

r - v e r m e l h o = 75 + 50 + h 3

r - v e r m e l h o = 75 + 50 + 50 3

r - v e r m e l h o = 1 4 1 , 7   m m

E A é a área de geração, ou seja a área de cada formato:

A a m a r e l o = b h

A a m a r e l o = 50 700

A a m a r e l o = 35.0 00   m m 2

e

A v e r m e l h o = b h 2

A v e r m e l h o = 700 50 2

A v e r m e l h o = 17 . 500   m m 2

Passo 4

Então é só aplicar na formula e obteremos o volume:

V = θ ∑ r - A

V = 2 π 100 35.0 00 + 141,7 17.500

V = 37 , 6 ⋅ 10 6   m m 3

Para transformar milimetro em metro devemos multiplicar o milímetro por 10 - 3 , então para transformar milímetro ao cubo em metro ao cubo precisamos multiplicar o milímetro ao cubo por 10 - 3 3

V = 37,6 ⋅ 10 6 ⋅ 10 - 3 3

V = 0,0376   m 2

Resposta

A = 1,06   m 2

V = 0,0376   m 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9.84 Determine a área da superfície de A até B do tanque.
9.85 Determine o volume dentro o tanque de parede fina de A até B .
9.09 Determine a área da superfície e o volume do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .
9.87 Determine a área da superfície do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .
9.83 Determine o volume do sólido formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x usando o segundo teorema de Pappus-Guldinus. A área e o contróide y - da área sombreada devem ser obtidos prime