Enunciado

O ângulo da superfície de suporte em C pode variar de 0 (vertical) a 90∘ (horizontal).

(a) Trace a força no membro BC como uma função de θ neste intervalo. Observe quaisquer condições incomuns.

(b) Para qual valor de θ, se houver, a força no membro BC é zero?

(c) Se o membro BC for projetado para falhar com uma carga de 1000 lb em tensão ou compressão, qual é o intervalo permitido para o ângulo θ?

Passo 1

(a) Primeiro, podemos analisar a junta A para determinar as forças nos membros AC

Observe que as forças nos membros AB e AC são constantes para qualquer valor de θ, uma vez que a mudança do ângulo não os afeta.

Observe também que assumiremos que todos os membros desconhecidos estão em tensão

Aplicando as equações de equilíbrio, determinaremos a força nos membros AC

∑ F y = 0

- A C s i n ⁡ 22.62 ∘ - 100 = 0 A C = - 100 sin ⁡ 22.62 ∘ = - 260.00 k N

Como obtivemos o resultado negativo, isso significa que o membro está em compressão

A C = 260.00 k N ( C )

Passo 2

Agora podemos analisar a junta C.

Observe que criamos o sistema de coordenadas mOn, onde o eixo m é paralelo ao membro BCD, a fim de facilitar os cálculos.

Observe também que assumimos que todos os membros desconhecidos estão sob tensão, portanto, os membros estarão em compressão quando seu valor for negativo.

Equacionando a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força de reação NC

∑ F x = 0

260 c o s ⁡ 22.62 ∘ - N C c o s ⁡ θ = 0 240 - N C c o s ⁡ θ = 0 N C = 240 cos ⁡ θ                                                                                                         ( 1 )

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a força BC

∑ F y = 0

- 260 s i n ⁡ 22.62 ∘ + N C s i n ⁡ θ + B C = 0 B C = 260 s i n ⁡ 22.62 ∘ - N C s i n ⁡ θ

Substitua NC pela expressão (1)

B C = 260 s i n ⁡ 22.62 ∘ - 240 cos ⁡ θ s i n ⁡ θ B C = 100 - 240 tan ⁡ θ                                                                       ( 2 )

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos, traçaremos a função fornecida para o CD

Podemos ver que o membro está em compressão (valor negativo) e a força de compressão mínima do membro CD é:

C D m i n = 6.00 k N  com   α = 0

Passo 3

(b) Quando a força de reação em C é paralela à força do membro AC, essas duas forças serão iguais e em equilíbrio por si mesmas, portanto a força BC deve ser igual a zero quando a força de reação em C é paralela à força do membro AC , ou seja, em θ = 22,62∘

Passo 4

Observe que o sistema irá falhar quando BC = 1000 ou BC = -1000lb (onde o sinal “-” representa compressão e “ + "sinal de tensão), então, a fim de determinar o intervalo de θ para o qual a treliça não entrará em colapso, podemos ler o ângulo do gráfico na etapa 5 ou substituir BC por 1000 e -1000 na equação (2).

Podemos ver no gráfico que a treliça entrará em colapso em θ = 77,692∘, então o intervalo permitido para θ é:

0 ≤ θ ≤ 77.692 ∘

Resposta

(a) B C = 100 - 240 t a n ⁡ θ

Em θ = 90 ∘ a treliça não é estável

(b) θ = 22.62 ∘

(c) 0 ≤ θ ≤ 77.692 ∘

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