Enunciado

Sabendo que a viga AB é feita de uma barra de aço cheia, de diâmetro d = 19,05 mm, determine para o carregamento mostrado na figura (a) a inclinação no ponto D e (b) a deflexão no ponto A. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto E para descobrir o valor da reação no ponto D, então teremos:

+ ↺ ∑ M E = 0

- 667 0,61 + 0,1016 - D y 0,61 - 1334 0,1524 = 0 → D y = - 1111,4   N

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

667 - 1111,4 + E y - 1334 = 0 → E y = 1778,4   N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 101,6   m m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 667 x = 0 → M = + 667 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre D e E, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 667 x + 0,1016 + 1111,4 x = 0

M = 667 x + 0,1016 - 1111,4 x

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre E e B, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - 667 x + 0,7116 + 1111,4 x + 0,61 - 3112,4 x = 0

M = 667 x + 0,7116 - 1111,4 x + 0,61 + 1778,4 x

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela força localizada de 667 N, que chamaremos de momento 1, o causado pela reação no ponto D, que chamaremos de momento 2, e o causado pela reação de apoio em E, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = 667 x   0 < x < 0,864   m

M 2 = - 1111,4 x 0,1016 < x < 0,864   m

M 3 = 1778,4 x   0,7116 < x < 0,864   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos D e E para cada um deles, (observe que não vamos precisar da parcela entre E e B) para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 D = 667 0,1016 → M 1 D = 67,77   N . m

M 1 E = 667 0,7116 → M 1 E = 474,64   N . m

M 2 D = 0

M 2 E = - 1111,4 0,61 → M 2 E = - 677,95   N . m

M 3 E = 0

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Agora vamos precisar calcular o termo EI. Para isso, vamos começar calculando o momento de inércia para a viga, no nosso caso, como temos uma seção circular, o momento será:

I = π r 4 4 = π 0,01905 2 4 4 → I = 6,4647.10 - 9   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 6,4647.10 - 9 → E I = 1292,9   N . m

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 0,1016 67,77 1292,9 2 → A 1 = 2,663.10 - 3

x - 1 = b 3 = 0,1016 3 → x - 1 = 0,03387   m

A 2 = b h 2 = 0,61 474,64 - 67,77 1292,9 2 → A 2 = 95,98.10 - 3

x - 2 = b 3 = 0,61 3 → x - 2 = 0,2033   m

A 3 = b h = 0,61 67,77 1292,9 → A 3 = 31,974.10 - 3

x - 3 = b 2 = 0,61 2 → x - 3 = 0,305   m

A 4 = b h 2 = 0,61 - 677,95 1292,9 2 → A 4 = - 159,93.10 - 3

x - 4 = b 3 = 0,61 3 → x - 4 = 0,2033   m

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ D = - t E / D L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio E em relação a D é dado por:

t E / D = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t E / D = 95,98.10 - 3 0,2033 + 31,974.10 - 3 0,305 + - 159,93.10 - 3 0,2033

t E / D = - 3,25.10 - 3

Então a inclinação em D será:

θ D = - t E / D L = - - 3,25.10 - 3 0,61 → θ D = 5,326.10 - 3   r a d

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t A / D = A A D x - + θ D x D

Em que A A D é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A - t D = A 1 x - 1 + θ D x D

Sabendo que não teremos deflexão em D devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t A - 0 = 2,663.10 - 3 0,1016 - 0,03387 + 5,326.10 - 3 0,1016

t A = 0,721.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ D = 5,326.10 - 3   r a d

b : t A = 0,721.10 - 3   m

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