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Ao apertar um parafuso cujo centro está no ponto O , uma pessoa exerce, com a mão direita, uma força de 180   N no manete da chave de catraca. Além disso, com a mão esquerda exerce uma força de 90   N , como mostrado, para manter o soquete na cabeça do parafuso. Determine o sistema força-binário equivalente em O . Determine, então, o ponto no plano x - y pelo qual passa a linha de ação da força resultante do torçor.

Passo 1

Vamos começar calculando a força resultante. Para isso precisamos escrever cada força em forma vetorial:

F → 1 = - 18 0   k ^   N

F → 2 = - 90   j ^   N

E então a força resultante é:

R → = F → 1 + F → 2

R → = - 90   j ^ + - 18 0   k ^   N

Passo 2

Agora queremos calcular o momento em relação ao ponto O . Como a linha de ação da força de 90   N passa pelo ponto O , o momento dela é nulo, e só precisamos nos preocupar com o momento da força de 180   N .

Essa força é paralela ao eixo z , e sua linha de ação não cruza nenhum dos outros dois eixos, por isso ela vai gerar momento em relação a x e y .

Em torno do eixo x o momento favorece a rotação no sentido horário, e por isso colocamos um sinal negativo:

M x = - 180 0,035 = - 6,3   N   m

E o mesmo acontece para a rotação em torno do eixo y :

M y = - 180 0,200 = - 36   N   m

E então o momento total é:

M → O = M x i ^ + M y j ^

M → O = - 6,3   i ^ - 36   j ^   N   m

Passo 3

Agora queremos calcular as coordenadas ( x , y ) pela qual passa a linha de ação da força resultante do torçor.

Como estamos lidando com um torçor, a equação que vamos usar para descobrir essas coordenadas é a seguinte:

M → O = r → × R → + M →

Onde M → é um vetor momento paralelo à força resultante R → :

M → = M   R ^

E então vamos precisar encontrar o vetor unitário na direção de R → :

R ^ = R → R → = - 90   j ^ + - 180   k ^ 90 2 + 180 2

R ^ = ( - 0,447   j ^ - 0,894   k ^ )

E o nosso vetor M → é:

M → = M - 0,447   j ^ - 0,894   k ^

Passo 4

Vamos voltar à nossa equação:

M → O = r → × R → + M →

M → O = x   i ^ + y ^   j ^ × - 90   j ^ - 180   k ^ + M →

M → O = i ^ j ^ k ^ x y 0 0 - 90 - 180 + M →

M → O = - 180 y i ^ + - 90 x k ^ - - 180 x j ^ + M →

E agora substituimos também a expressão que encontramos para M → O e M → :

- 6,3   i ^ - 36   j ^ = - 180 y i ^ + - 90 x k ^ - - 180 x j ^ + M - 0,447   j ^ - 0,894   k ^

E então podemos escrever algumas equações:

- 6,3 = - 180 y

- 36 = 180 x - 0,447 M

0 = - 90 x - 0,894 M

Podemos resolver a primeira para encontrar o valor de y :

y = 6,3 180 = 0,035   m

E vamos substituir a terceira equação na segunda para encontrar o valor de x :

- 36 = 180 x - 0,447   90 x - 0,894

- 36 = 180 x + 45 x

x = - 0,160   m

Resposta

A força resultante é R → = - 90   j ^ + - 180   k ^   N e o momento total é M → O = - 6,3   i ^ - 36   j ^   N   m . As coordenadas devem ser x = - 0,160   m e y = 0,035   m .

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