Enunciado

Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto O . Mostre que R → é perpencidular a M → O . Em seguida, determine o ponto no plano x - z pelo qual passa a resultante.

Passo 1

Começamos calculando a força resultante:

F → 1 = 1600   j ^   N

F → 2 = 800   j ^   N

Então:

R → = F → 1 + F → 2 = 800 + 1600 j ^

R → = 2400   j ^   N

Passo 2

Agora vamos calcular os momentos das forças.

A força de 800   N gera momento apenas em torno do eixo z :

M → 1 = 800 2,4 k ^ = 1920   k ^   N m

E a força de 1600   N gera momento em torno dos eixos z e x :

M → 2 = 1600 0,9 i ^ + 1600 2,4 k ^

E então:

M → = M → 1 + M → 2

M → = 800 2,4 + 1600 2,4   k ^ + 1600 0,9   i ^

M → = 5760   k ^ + 1440   i ^   N m

Passo 3

Agora vamos verificar se R → e M → são perpendiculares. Para isso temos que calcular o produto interno:

R → ∙ M → = 2400   j ^   ∙ 5760   k ^ + 1440   i ^  

R → ∙ M → = 0

Como o produto é zero, podemos garantir que os dois vetores são perpendiculares.

Passo 4

Agora queremos saber em qual ponto no plano x - z passa a força resultante. Temos que escolher esse ponto de forma que o momento total seja o mesmo.

M → = r → × R →

r → = x i ^ + z k ^

R → = 2400   j ^

M → = i ^ j ^ k ^ x 0 z 0 2400 0

M → = 2400   x k ^ - 2400 z i ^

E o momento que calculamos antes era:

M → = 5760   k ^ + 1440   i ^   N m

Então:

2400 x = 5760       ⇒           x = 2,4   m

- 2400 z = 1440         ⇒           z = - 0,6   m

Resposta

A força resultante é R → = 2400   j ^   N , o momento total é M → = 5760   k ^ + 1440   i ^   N m e esses dois vetores são perpendiculares. As coordenadas são x = 2,4   m e z = - 0,6   m .

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