Enunciado

A área de um quarto circular é girada 360 ° em torno do eixo y. Determine o volume do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.

Passo 1

Lembre-se dos teoremas de Pappus que a superfície externa de um corpo pode ser encontrada pela fórmula:

A = θ y - L

E o Volume pode ser encontrado pela fórmula:

V = θ y - A

y - representa a distância do centro de massa do eixo de revolução

Precisamos encontrar a distância do centro de massa do eixo y. Olhando para o problema de amostra 5/3:

x - = r - = 2 3 r sin ⁡ α α

Em nosso caso r = a e α = 90 2 = 45 ° = π 4 então:

r - = 2 3 a sin ⁡ π 4 π 4 = 2 4 a 1 2 3 π = 4 2 a 3 π

Passo 2

Em seguida, precisamos encontrar θ , uma vez que a revolução é 360 ° , escrevemos:

θ = 2 π

Em seguida, estamos procurando encontrar o Volume aqui, então usaremos a primeira fórmula do Teorema de Pappus:

V = θ r - A

A última coisa de que precisamos é a área da figura. Neste caso, é o perímetro de uma área circular que se estende por 90 ° (um quarto de círculo), então:

A = π r 2 1 4 = a 2 π 4

Passo 3

Temos tudo o que precisamos para encontrar o Volume, então:

A = θ r - A = 2 π 4 2 a 3 π a 2 π 4 = 2 2 a 3 π 3

Resposta

2 2 a 3 π 3

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